解析教程 (コーシーの著書)

コーシーの著書『Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique』（『フランス王立工科大学における解析教程第一部代数的解析学』）は、1821年に著わされた無限小計算に基づく初等解析学において多大な影響を及ぼした教科書である。しばしば短く、Cours d'Analyse, 『解析教程』と呼ばれる。本項記述は英語訳本 (Bradley & Sandifer 2010) に基づく^{[注釈 1]}。

序言

導入の第1頁でコーシーは「函数の連続性を述べるにおいて、無限小量の原理的性質を扱うことはできなかった、それは無限小微分積分学を基礎を与える性質である」と書いている。訳者は脚注で「コーシーがここで極限にも言及しなかったことは興味深い」とコメントしている。

コーシーは「方法論としては、幾何学から要求される厳密性はすべて賄うよう努めた。ゆえに、代数の一般性（英語版）からくる論法に頼る必要はない」と続けている。

序論

第6頁でコーシーは、まず変量に関して議論を行い、極限の概念を「ある同一の変化量に次々に割り当てられる値がある一定の値に限りなく近づき, 最後にはどれほどでも望むだけわずかな違いしか見られないようなとき, この値は他のすべての値の極限 (limite) と呼ばれる」^[1]との言葉で導入した。

第7頁でコーシーは、無限小を「同一の変化量の連続する数値^{[注釈 2]}が, 与えられたどのような量よりも小さくなるように, 際限なく減少するとき, この変化量は無限小 (infiniment petit) あるいは無限小量 (quantite infiniment petite) と名づけられる. この種の変化量は $0$ を極限にもっ」^[1]と加えている。

^{[注釈 4]}

極限の記法 $\lim$ は第12頁で導入される。訳者は脚注で「極限を表す記法 “Lim.” はサイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエ (1750–1840) が [L’Huilier 1787, p. 31] で初めて導入した。コーシーはこれを “lim.” と [Cauchy 1821, p. 13] で用いた。ピリオドが消えたのは [Cauchy 1897, p. 26] あたりである」としている。

第2章

この章には長い標題「無限小量・無限大量と関数の連続性. いくつかの特別な場合における関数の特異値」が付いている。第21頁でコーシーは「われわれが変化量が「無限に小さく」なるというのは、その数値が際限なく減少して極限 $0$ へ収束するときにいう。」と書いている。同じページでコーシーが提示したそのような変化量の陽な例は一つで、具体的には ${\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{7}},\ldots$ である。第22頁で、以下のように無限小の大きさの程度（位数）の議論を開始する:「 $α$ を無限小量とし、変量としてその数値が際限なく減少するものとする。 $α$ の様々な自然数冪、つまり $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots$ を同一の計算に持ち込むとき、これら種々の冪はそれぞれ順に「第一位」「第二位」「第三位」… の無限小という」。コーシーは「位数 $n$ （ $n$ は自然数）の無限小量の一般形は ${\textstyle k\alpha ^{n}}$ または少なくとも ${\textstyle k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon )}$ なる形となる」ことを注意している。

第23-25頁でコーシーは様々な位数の無限小の性質に関する定理を記している。

§2.2

ここは「関数の連続性」と題されている。コーシーは「これらの限界の間に挟まれる $x$ のある値から出発して,

変化量 $x$ に限りなく小さな増加量 $α$ を与えれば, 関数自身は増加量として差 $f(x+\alpha )-f(x)$ をとる」^[1]と書き、

これらの限界の間にある $x$ の各々の値に対して, 差 ${\textstyle f(x+\alpha )-f(x)}$ の数値が $α$ の値とともに際限なく減少するならば, 関数 $f (x)$ は変化量 $x$ に指定された二つの限界の間でこの変化量の連続関数となる^[1]

と述べる。続けて連続性の定義を（強調表示で）

与えられた限界の間で変化量の限りなく小さな増加が関数自身の限りなく小さな増加を常に生み出すならば, 関数 $f (x)$ はこれらの限界の間で $x$ に関して連続となる.^[1]

と提示した。

第32頁では中間値の定理が述べられている。

和の定理

第6章 §1 の定理 I^[3] においてコーシーは以下のような内容の和の定理を記している:

級数 (1) の各項が同一の変量 $x$ の函数であり、級数の収束する特定の値の近傍においてこの変量に関して連続となるとき、この級数の和 $s$ もまたこの特定値の近傍において $x$ の連続函数となる

ここに、級数 (1) とは第86頁に現れた ${\textstyle (1)\qquad u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},u_{n+1},\ldots }$ である。^{[注釈 5]}

注

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注釈

^ [FIXME] 本項は英語版 en:Cours d'Analyse を翻訳したものであり、原文に書かれた英語訳本にある記述やページ数は単純に直訳した（一部 (西村 2010) の引用で置き換えた）。日本語訳本に基づくように修正を望む。
^ 『解析教程』でコーシーは「数」は大きさを表すもの、それに符号をつけたものは「量」と呼んで区別している^[1]。ゆえに、この文脈における「量の数値」は現代的な語法で言うと「実数の絶対値」ということになる。
^ $vercos(x) ≔ 1 + cos(x)$ ^[2]
^ 第10頁で訳者 (Bradley&Sandifer) は versed cosine と coversed sine とを混同している。コーシーのオリジナルの定義では sinus versus（正矢） $siv(θ) = 1 - cos(θ)$ および cosinus versus（余矢） $cosiv(θ) = 1 - sin(θ)$ となっている。しかし、翻訳では cosinus versus (cosiv) が誤って versed cosine (vercosine)^{[注釈 3]} に結び付けられていて、正しく coversed sine になってはいない。
^ ここで言う「級数」は現代用法と同じく「数列の和」を意味するのであるが、『解析教程』でコーシーは級数の各項を+で結ぶ記法は専ら収束級数の和を表すために用い、単に形式的な級数は各項をコンマで区切っただけで表した。(西村 2010)

出典

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 西村 2010.
^ Weisstein, Eric W. "Vercosine". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Bradley & Sandifer 2010, p. 90.

参考文献

原著: Cauchy, Augustin Louis (1821), Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi .
- 英語訳: Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward (2010). Buchwald, J.Z.. ed. Cauchy’s Cours d’analyse: An Annotated Translation. Cauchy, Augustin-Louis. Springer Science+Business Media, LLC. pp. 10, 285. doi:10.1007/978-1-4419-0549-9. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN 2009-932254. 1441905499, 978-1-4419-0549-9
- 日本語訳: コーシー著、西村重人・高瀬正仁訳『解析教程』みみずく舎、2011年。ISBN 9784863990821。
西村重人「コーシーの『解析教程』の翻訳を終えて (数学史の研究)」『数理解析研究所講究録』第1677巻、京都大学数理解析研究所、2010年4月、177-186頁、CRID 1050282677090547200、hdl:2433/141276、ISSN 1880-2818。

表話編歴無限小
歴史	擬等式（英語版）ライプニッツの記法積分記号超準解析への批判（英語版） The Analyst（英語版）『方法』カヴァリエリの原理（不可分の方法）
関連分野	超準解析超準微積分学（英語版）内的集合論（英語版）綜合微分幾何学（英語版）滑らかな無限小解析構成的超準解析（英語版）無限小応変理論（英語版）（物理学）
定式化	微分小超実数二重数超現実数
個々の概念	標準部分（英語版）移行原理（英語版）超整数増分定理モナド内的集合レヴィ＝チヴィタ体超有限集合（英語版）連続の法則（英語版）溢出（英語版） microcontinuity（英語版）等質性の超越法則（英語版）
数学者	ゴットフリート・ライプニッツアブラハム・ロビンソンピエール・ド・フェルマーオーギュスタン＝ルイ・コーシーレオンハルト・オイラー
教科書	『無限小解析』『無限小解析の基礎』『解析教程』

解析教程 (コーシーの著書)

序言

序論

第2章

§2.2

和の定理

注

注釈

出典

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関連書籍

関連項目