カラテオドリ計量

数学の分野におけるカラテオドリ計量とは、複素バナッハ空間の開単位球上に定義される計量で、双曲幾何学におけるポアンカレ計量と類似の性質を多く持つ。ギリシャの数学者であるコンスタンティン・カラテオドリの名にちなむ。

定義

(X, ǁ ǁ) を複素バナッハ空間とし、B を X 内の単位開球とする。Δ を複素平面 C 内の開単位円板とすると、それは二次元実/一次元複素の双曲幾何のポアンカレ円板モデルと見なされる。Δ 上のポアンカレ計量 ρ を

$\rho (a,b):=\tanh ^{-1}{\frac {|a-b|}{|1-{\bar {a}}b|}}$

で与える（したがって、曲率は −4 に固定される）。このとき、B 上のカラテオドリ計量 d は

$d(x,y):=\sup\{\rho (f(x),f(y));\ f\colon B\to \Delta {\mbox{ is holomorphic}}\}$

と定義される。ここで、バナッハ空間上の関数が正則（holomorphic）であるということの意味については、記事無限次元正則性を参照されたい。

性質

• B 内の任意の点 x に対して

$d(0,x)=\rho (0,\|x\|)$

が成り立つ。

• d は次の式でも与えられる（カラテオドリは、これはエルハルト・シュミットによって得られた結果であるとしている）:

$d(x,y)=\sup \left\{2\tanh ^{-1}\left\|{\frac {f(x)-f(y)}{2}}\right\|;\ f\colon B\to \Delta {\mbox{ is holomorphic}}\right\}$

• B 内のすべての a および b に対して

$\|a-b\|\leq 2\tanh {\frac {d(a,b)}{2}}\qquad (1)$

が成立する。また、この等号が成り立つための必要十分条件は、a = b であるか、あるいは ǁℓǁ = 1 と ℓ(a + b) = 0 および

$\rho (\ell (a),\ell (b))=d(a,b)$

を満たすような有界線形汎関数 ℓ ∈ X^∗ が存在することである。さらに、このような三条件を満たす ℓ はどのようなものであっても |ℓ(a − b)| = ǁa − bǁ を満たす。

• また、ǁaǁ = ǁbǁ および ǁa − bǁ = ǁaǁ + ǁbǁ が成立している場合にも、(1) における等号は成立する。これを成立させるための一つの方法として、b = −a とすることが考えられる。

• X 内の閉単位球の端点では無いような、X 内の単位ベクトル u が存在するならば、(1) において等号が成立するが b ≠ ±a であるような B 内の点 a と b が存在する。

接ベクトルのカラテオドリ長

球 B への接ベクトルに対するカラテオドリ長（Carathéodory length）という概念がある。x を B の点とし、v を x における B への接ベクトルとする。B はベクトル空間 X 内の開単位球であるため、接空間 T_xB は自然な方法によって X と関連付けられ、v は X の元と見なされる。このとき、x における v のカラテオドリ長 α(x, v) は

$\alpha (x,v):=\sup\{|Df(x)v|;\ f\colon B\to \Delta {\mbox{ is holomorphic}}\}$

と定義される。α(x, v) ≥ ǁvǁ であり、等号は x = 0 であるときに成り立つことが示される。

関連項目

• エアレ-ハミルトンの不動点定理

参考文献

• Earle, Clifford J. and Harris, Lawrence A. and Hubbard, John H. and Mitra, Sudeb (2003). “Schwarz's lemma and the Kobayashi and Carathéodory pseudometrics on complex Banach manifolds”. In Komori, Y., Markovic, V. and Series, C. (eds). Kleinian groups and hyperbolic 3-manifolds (Warwick, 2001). London Math. Soc. Lecture Note Ser. 299. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 363–384