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数学 において、オイラーの四平方恒等式 (Euler's four-square identity) とは、4つの平方数 の和である2数の積は再び4つの平方数の和になることをいうものである。具体的は、次のようになる。
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
+
a
4
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
+
b
4
2
)
=
(
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
+
a
4
b
4
)
2
+
(
a
1
b
2
−
a
2
b
1
+
a
3
b
4
−
a
4
b
3
)
2
+
(
a
1
b
3
−
a
2
b
4
−
a
3
b
1
+
a
4
b
2
)
2
+
(
a
1
b
4
+
a
2
b
3
−
a
3
b
2
−
a
4
b
1
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})\\=&(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4})^{2}\\+&(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\+&(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}-a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}\\+&(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{1})^{2}.\end{aligned}}}
オイラー はゴールドバッハ 宛ての1748年5月4日付の手紙でこの恒等式について書いている[ 1] [ 2] 初等代数学 で証明でき、任意の可換環 において成り立つ。
a
k
{\displaystyle a_{k}}
b
k
{\displaystyle b_{k}}
実数 であれば、よりエレガントな証明が可能である。恒等式は、2つの四元数 の積の絶対値が絶対値の積に等しいと言う事実を表しているのである。（ブラーマグプタの二平方恒等式 では複素数 に対して同様であるのと同じように。）
恒等式はラグランジュ がラグランジュの四平方定理 を証明するために使った。正確に言えば、素数 に対して定理を証明すれば一般の場合が従うので十分であるということを恒等式は意味している。上記式の符号の取り方は2つの四元数を掛けて得られる符号に対応している。他の符号の取り方は、任意の ak を −ak に、あるいは bk を −bk に、あるいは右辺の自乗されている任意の項の符号を変えることによって、得ることができる。
フルヴィッツの定理 （英語版 ）
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
+
⋯
+
a
n
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
+
⋯
+
b
n
2
)
=
c
1
2
+
c
2
2
+
c
3
2
+
⋯
+
c
n
2
{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\dotsb +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\dotsb +b_{n}^{2})=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+\dotsb +c_{n}^{2}\,}
の形の恒等式（ただし
c
i
{\displaystyle c_{i}}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
b
i
{\displaystyle b_{i}}
双線型 写像）は、n = {1, 2, 4, 8} に対してのみ可能である。しかしながら、より一般的なPfisterの定理 （英語版 ）
c
i
{\displaystyle c_{i}}
有理関数 とすれば（分母 を許せば）、すべての n = 2m [ 3]
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
+
a
4
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
+
b
4
2
)
=
(
a
1
b
4
+
a
2
b
3
+
a
3
b
2
+
a
4
b
1
)
2
+
(
a
1
b
3
−
a
2
b
4
+
a
3
b
1
−
a
4
b
2
)
2
+
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
+
a
3
u
1
b
1
2
+
b
2
2
−
a
4
u
2
b
1
2
+
b
2
2
)
2
+
(
a
1
b
1
−
a
2
b
2
−
a
4
u
1
b
1
2
+
b
2
2
−
a
3
u
2
b
1
2
+
b
2
2
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})\\=&(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}\\+&(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2})^{2}\\+&\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\\+&\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\end{aligned}}}
ただし
u
1
=
b
1
2
b
4
−
2
b
1
b
2
b
3
−
b
2
2
b
4
,
u
2
=
b
1
2
b
3
+
2
b
1
b
2
b
4
−
b
2
2
b
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4},\\u_{2}&=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}.\end{aligned}}}
次の副産物にも注意しよう。
u
1
2
+
u
2
2
=
(
b
1
2
+
b
2
2
)
2
(
b
3
2
+
b
4
2
)
.
{\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})^{2}(b_{3}^{2}+b_{4}^{2}).}
^ Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , R.E. Bradley and C.E. Sandifer (eds), Elsevier, 2007, p. 193^ Mathematical Evolutions , A. Shenitzer and J. Stillwell (eds), Math. Assoc. America, 2002, p. 174^ Pfister's Theorem on Sums of Squares, Keith Conrad, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/pfister.pdf
