エンリケス曲面

数学では、エンリケス曲面(Enriques surfaces)は、不正則数 q = 0 で標準ラインバンドル K が非自明であるが、二乗すると自明となるような代数曲面である。エンリケス曲面は、みな射影的であり（従って複素数体上ではケーラー的であり）、種数 0 の楕円曲面である。標数が 2 ではない体上では、エンリケス曲面はK3曲面を不動点のない位数 2 の群で割った商であり、その理論は代数的K3曲面の理論に似ている。エンリケス曲面は最初に Enriques (1896)で詳細に研究された。 Reye (1882)で、エンリケスの研究に先立ち導入されたレーイ合同(Reye congruences)のいくつかもまたエンリケス曲面の例である。

エンリケス曲面は他の体上でも定義される。標数が 2 でない体上で、Artin (1960) は理論が複素数上の理論と同じであることが示された。標数が 2 の体上では、定義が変更され、2つの新しい族が存在し、特異エンリケス曲面、超特異エンリケス曲面と呼ばれ、Bombieri & Mumford (1976) に記載されている。.

不変量

n が偶数のときは、多重種数 P_n が 1 で、n が奇数のときは、0 である。基本群は位数が 2 である。第二コホモロジー群 H²(X, Z) は、次元 10 の唯一の群のユニモジュラ格子（英語版）(unimodular lattice) II_1,9 と符号 -8 と位数 2 の群の和に同型である。

ダイアモンド：

          1
      0       0
  0      10       0
      0       0
          1

マーク付きのエンリケス曲面は、連結な 10-次元の族を形成し、Kondo (1994) では有理的であることが示された。

標数 2 の場合

標数が 2 の場合は、エンリケス曲面の新しい族が存在し、準エンリケス曲面(quasi Enriques surfaces)、あるいは、非古典的エンリケス曲面(non-classical Enriques surfaces)、あるいは、（超）特異エンリケス曲面((super)singular Enriques surfaces)と呼ばれることもある。標数 2 の場合のエンリケス曲面の定義は変形されていて、極小曲面の標準クラス K が 0 に数値的に同値で、第二ベッチ数が 10 であると定義される。（2 以外の標数の定義は、この定義は通常の定義に同値である。）エンリケス曲面には 3つの族があることになる。

古典的： dim(H¹(O)) = 0、これは 2K = 0 であるが K は 0 でなく、Pic^τ は Z/2Z であることを意味する。そのような曲面は群スキーム μ₂ による被約な特異ゴレンシュタイン曲面(Gorenstein surface)の商である。
特異： dim(H¹(O)) = 1 で、フロベニウス自己準同型が非自明に作用している。このことは K = 0 であり、Pic^τ は μ₂ であることを意味する。そのような曲面は、群スキーム Z/2Z によるK3曲面の商である。
超特異： dim(H¹(O)) = 1 でフロベニウス自己準同型が自明に作用している。これは、K = 0 であり、Pic^τ は α₂ であることを意味する。そのような曲面は、群スキーム α₂ による被約な特異ゴレンシュタイン曲面の商である。

全てのエンリケス曲面は楕円的か準楕円的である。

例

レーイ合同(Reye congruence)は、P³ の中の 4次曲面の与えられた 3-次元線型系の内の少なくとも 2つの 4次曲面を持つ直線の族である。線型系が生成的(generic)であれば、レーイ合同はエンリケス曲面である。これらは Reye (1882) により発見され、エンリケス曲面の最も初期の例かもしれない。

4面体の縁に沿った二重線を持つ 3次元射影空間の中の 6次曲面を、次のようにとる。

次数 2 の一般的な同次多項式に対し、

w^{2}x^{2}y^{2}+w^{2}x^{2}z^{2}+w^{2}y^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}z^{2}+wxyzQ(w,x,y,z)=0

すると、この正規化はエンリケス曲面である。これは、Enriques (1896)により発見された。

不動点を持つ対合によるK3曲面の商はエンリケス曲面であり、標数が 2 よりも大きな場合の全てのエンリケス曲面は、この方法で構成することができる。例えば、S を K3曲面 w⁴ + x⁴ + y⁴ + z⁴ = 0 で、T を (w,x,y,z) を (w,ix,–y,–iz) とする位数 4 の自己同型とすると、T² は 2つの不動点を持つ。これらの 2つの点をブローアップし、T² による商をとると、不動点のない対合 T を持つK3曲面が得られ、これの T による商はエンリケス曲面である。別のエンリケス曲面は、元の曲面を位数 4 の自己同型 T による商をとり、商の 2つの特異点を解消することにより得ることができる。さらに別な例は、P_i(u,v,w)+Q_i(x,y,z) = 0 の形の 3つの 4次曲面の交叉をとり、対合 (u:v:w:x:y:z) から (–x:–y:–z:u:v:w) による商を取る。生成的(generic)な 4次曲面に対し、この対合はK3曲面の不動点を持たない対合となるので、商はエンリケス曲面である。

参照項目

代数曲面のリスト（英語版）(list of algebraic surfaces)
エンリケス・小平の分類

参考文献

Artin, Michael (1960), On Enriques surfaces, PhD thesis, Harvard
Compact Complex Surfaces by Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven ISBN 3-540-00832-2 This is the standard reference book for compact complex surfaces.
Bombieri, Enrico; Mumford, David (1976), “Enriques' classification of surfaces in char. p. III.”, Inventiones Mathematicae 35 (1): 197–232, doi:10.1007/BF01390138, ISSN 0020-9910, MR0491720
Cossec, François R.; Dolgachev, Igor V. (1989), Enriques surfaces. I, Progress in Mathematics, 76, Boston: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3417-9, MR986969
Enriques, Federigo (1896), “Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche.”, Mem. Soc. Ital. delle Scienze 10: 1–81
Enriques, Federigo (1949), Le Superficie Algebriche, Nicola Zanichelli, Bologna, MR0031770
Kondo, Shigeyuki (1994), “The rationality of the moduli space of Enriques surfaces”, Compositio Math. 91 (2): 159–173
Reye, T. (1882), Die Geometrie der Lage, Leipzig

外部リンク

Enriques surfaces