エルミート多様体

数学における エルミート多様体（英語: Hermitian manifold）とはリーマン多様体の複素微分幾何における類似である。より正確には、エルミート多様体とは、各点の正則接空間にエルミート内積を持ち、それらが滑らかに変化する複素多様体のことを指す。また、エルミート多様体を複素構造を保つリーマン計量を持つ実多様体として定義することもできる。

複素構造は、本質的には可積分条件をもつ概複素構造であり、この条件は多様体上にユニタリ構造（U(n)-構造(U(n) structure))をもたらす。可積分条件を落とすと、概エルミート多様体を得る。

任意の概エルミート多様体上に、計量と概複素構造にのみ依存する基本2形式(fundamental 2-form)と呼ばれる微分形式を定めることができる。基本2形式は常に非退化である。これが閉形式である（すなわちシンプレクティック形式である）という追加の可積分条件を課すことにより、概ケーラー構造(almost Kähler structure)を得る。もし概複素構造と基本2形式の両方が可積分であれば、 ケーラー構造を持つ。

形式的定義

滑らかな多様体(smooth manifold) $M$ 上の複素ベクトル束 $E$ におけるエルミート計量(Hermitian metric)とは、各々のファイバー上で滑らかに変化する正定値エルミート形式である。そのような計量は滑らかな切断

$h\in \Gamma (E\otimes {\bar {E}})^{*}$

であって、$E_{p}$ の任意の元 $\zeta ,\eta$ に対し

$h_{p}(\eta ,{\bar {\zeta }})={\overline {h_{p}(\zeta ,{\bar {\eta }})}}$

であり、$E_{p}$ の任意の 0 でない元 $\zeta$ に対し

$h_{p}(\zeta ,{\bar {\zeta }})>0$

を満たすような切断として表すことができる。

エルミート多様体(Hermitian manifold)は、その正則接空間(holomorphic tangent space)上にエルミート計量を持つ複素多様体である。同様に、概エルミート多様体(almost Hermitian manifold)は、その正則接空間上にエルミート計量を持つ概複素多様体である。

エルミート多様体上では、計量は正則局所座標 $(z^{\alpha })$ を用いて

$h=h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }$

と表わされる。ここに $h_{\alpha {\bar {\beta }}}$ は正定値エルミート行列の成分である。

リーマン計量と随伴形式

（概）複素多様体 $M$ 上のエルミート計量 $h$ は、基礎多様体上にリーマン計量 $g$ を定義する。計量 $g$ は $h$ の実部

$g={1 \over 2}(h+{\bar {h}})$

で定義される。

形式 $g$ は複素化された(complexified)接バンドル $TM^{\mathbf {C} }$ 上の対称双線型形式である。$g$ は自身の共役と等しいので、$TM$ 上の実形式の複素化となる。$TM$ 上での $g$ の対称性と正定値性は、対応する $h$ の性質から従う。局所正則座標では、計量 $g$ は

$g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha })$

と表わすことができる。

$h$ には次数 (1,1) の複素微分形式 $\omega$ を付随させることもできる。形式 $\omega$ は $h$ の虚部のマイナス1倍

$\omega ={i \over 2}(h-{\bar {h}})$

として定義される。再び、$\omega$ はその共役と等しいので、これは $TM$ 上の実形式の複素化である。形式 $\omega$ は、随伴 (1,1)-形式(associated (1,1) form)、基本形式(fundamental form)、あるいはエルミート形式(Hermitian form)と様々な呼ばれ方をする。局所正則座標では、$\omega$ は

$\omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }$

と表わされる。

座標表現から明らかなように、3つの形式 $h$、$g$、$\omega$ のうち1つが与えられれば、他の2つも一意に定まる。リーマン計量 $g$ と付随する形式 $\omega$ とは概複素構造 $J$ により次のように関係している: すべての複素接ベクトル $u$ と $v$ に対し、

${\begin{aligned}\omega (u,v)&=g(Ju,v),\\g(u,v)&=\omega (u,Jv).\end{aligned}}$

エルミート計量 $h$ は $g$ と $\omega$ から等式

$h=g-i\omega$

によって復元できる。3つの形式 $h$、$g$、$\omega$ は概複素構造 $J$ を保つ。すなわち、すべての複素接ベクトル $u$ と $v$ に対し、

${\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}$

である。

従って、（概）複素多様体 $M$ 上のエルミート構造は、

1. 上記のエルミート計量 $h$
2. 概複素構造 $J$ を保つリーマン計量 $g$
3. $J$ を保つ非退化 2-形式 $\omega$ ですべての 0 でない実接ベクトル $u$ に対し $\omega (u,Ju)>0$ の意味で正定値

のいずれかで特定することができる。

多くの著者が $g$ 自身をエルミート計量と呼んでいることに注意する。

性質

すべての（概）複素多様体にはエルミート計量が入る。このことはリーマン計量についての同様の命題から直ちに従う。概複素多様体 $M$ 上の任意のリーマン計量 $g$ が与えられると、明らかに概複素構造 $J$ と整合するような新しい計量 $g'$ を、次のように構成することができる:

$g'(u,v)={\frac {1}{2}}\left(g(u,v)+g(Ju,Jv)\right).$

概複素多様体 $M$ 上のエルミート計量を選ぶことは、$M$ 上のU(n)-構造(U(n)-structure)を選ぶことと同値である。つまり、$GL(n,\mathbb {C} )$ からユニタリ群 $U(n)$ への $M$ の枠束(frame bundle)の構造群の縮小(reduction of the structure group)である。概エルミート多様体上のユニタリ枠(unitary frame)は、エルミート計量に関して正規直交系をなす複素線型枠である。M のユニタリ枠束(unitary frame bundle)は、すべてのユニタリ枠の主 U(n)-バンドルである。

すべてのエルミート多様体 $M$ は、$g$ により決定されるリーマン体積形式である標準体積形式を持つ。この形式は、随伴 (1,1)-形式 $\omega$ によって

$\mathrm {vol} _{M}={\frac {\omega ^{n}}{n!}}\in \Omega ^{n,n}(M)$

として与えられる。ここに $\omega ^{n}$ は $\omega$ と自身との $n$ 重のウェッジ積である。従って、体積形式は $M$ 上の実 $(n,n)$-形式である。局所正則座標では、体積形式は

$\mathrm {vol} _{M}=\left({\frac {i}{2}}\right)^{n}\det(h_{\alpha {\bar {\beta }}})\,dz^{1}\wedge d{\bar {z}}^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}\wedge d{\bar {z}}^{n}$

により与えられる。

エルミート計量は、正則ベクトルバンドル上でも考えることができる。

ケーラー多様体

エルミート多様体の最も重要なクラスは、ケーラー多様体である。ケーラー多様体は、エルミート形式 $\omega$ が閉形式

$d\omega =0$

となるエルミート多様体である。この場合、形式 $\omega$ をケーラー形式と呼ぶ。ケーラー形式はシンプレクティック形式なので、ケーラー多様体は自然にシンプレクティック多様体となる。

随伴する (1,1)-形式が閉である概エルミート多様体は、自然に概ケーラー多様体と呼ぶ。任意のシンプレクティック多様体には、概ケーラー多様体をなすような整合的な概複素構造が入る。

可積分性

ケーラー多様体は可積分条件を満たす概エルミート多様体である。この条件はいくつかの同値な方法で述べることができる。

$(M,g,\omega ,J)$ を実 $2n$ 次元の概エルミート多様体とし、$\nabla$ を $g$ のレヴィ・チヴィタ接続とすると、以下は $M$ がケーラーとなる同値な条件である。

• $\omega$ が閉で、$J$ が可積分である
• $\nabla J=0$
• $\nabla \omega =0$
• $\nabla$ のホロノミー群(holonomy group)が $J$ に関するユニタリ群 $U(n)$ に含まれる

これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「3 から 2(2 out of 3)」の性質に対応する。

特に、$M$ がエルミート多様体であれば、条件 $d\omega =0$ が一見、非常に強く見える条件 $\nabla \omega =\nabla J=0$ と同値である。ケーラー多様体の理論の豊かさは、これらの性質によるところもある。

参考文献

• Griffiths, Phillip; Joseph Harris (1994) [1978]. Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. New York: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8 
• Kobayashi, Shoshichi; Katsumi Nomizu (1996) [1963]. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley Classics Library. New York: Wiley Interscience. ISBN 0-471-15732-5 
• Kodaira, Kunihiko (1986). Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures. Classics in Mathematics. New York: Springer. ISBN 3-540-22614-1