内積

線型代数学における内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間とみなされる。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、エルミート内積またはユニタリ内積と呼ばれる。

定義

→「半双線型形式」も参照

複素数体 $ℂ$ 上のベクトル空間 $V$ 上で定義された二変数の写像 $⟨, ⟩ : V \times V \to ℂ$ が内積あるいはエルミート内積であるとは、 $x, y, z \in V$ および $λ \in ℂ$ を任意として

第一変数に関する線型性: $⟨ λx + y, z ⟩ = λ ⟨ x, z ⟩ + ⟨ y, z ⟩$ ;
第二変数に関する共軛線型性（英語版）: $⟨ x, λy + z ⟩ = λ ⟨ x, y ⟩ + ⟨ x, z ⟩$ ;
エルミート対称性: $⟨ x, y ⟩ = ⟨ y, x ⟩$ ;
非退化性: $V$ の元 $x$ に対して $⟨ x, x ⟩ = 0$ ならば $x = 0$ ;
半正定値性: $V$ の任意の元 $x$ に対して $⟨ x, x ⟩ \geq 0$

を満たすことを言う（ここで上付きのバー $•$ は複素共役を表す）。すなわち、複素ベクトル空間上の内積は非退化正定値のエルミート形式である^{[注釈 1]}。

実ベクトル空間の場合も同様で、実ベクトル空間 $V$ 上の二変数の写像 $⟨, ⟩ : V \times V \to ℝ$ が内積であるとは、それが非退化正定値の対称双線型形式であるときに言う^{[注釈 2]}。

場合によっては、非負の「半定値」半双線型形式を考える必要があることがある。つまり、 $⟨ x, x ⟩$ は非負であることのみが要求され、非退化でないものも考えるということである（後述）。

基本性質

エルミート対称性に注意すれば、任意の $x$ に対して $\langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}$ ゆえ、これは実数値である。さらに半双線型性により $\langle -x,x\rangle =-1\langle x,x\rangle ={\overline {-1}}\langle x,x\rangle =\langle x,-x\rangle$ が成り立つ。

線型性により、「 $x = 0$ ならば $⟨ x, x ⟩ = 0$ 」が成り立ち、また非退化性はその逆「 $⟨ x, x ⟩ = 0$ ならば $x = 0$ 」を言うものであるから、これらを合わせて、 $⟨ x, x ⟩ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ を得る。

内積の半双線型性を用いれば、平方展開 $\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\langle x,x\rangle +2\Re \langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle$ が成り立ち、特に係数体が $ℝ$ の場合には内積は対称だから、 $\langle x\pm y,x\pm y\rangle =\langle x,x\rangle \pm 2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle$ を得る。また線型性においてスカラーについて特に考えないとき ${\begin{aligned}\langle x+y,z\rangle &=\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle ,\\\langle x,y+z\rangle &=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \end{aligned}}$ が成り立つが、これは分配性あるいは加法性（双加法性）とも呼ばれる。

例

様々な空間に複数通りの内積が定義できる。一覧表で概要を、各節で詳細を説明する。

具体的な内積
ベクトル空間	内積関数	notes
$ℝ n$	${\boldsymbol {x}}^{\top }{\boldsymbol {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$	別名: 標準内積
$ℝ n$	${\boldsymbol {x}}^{\top }A{\boldsymbol {y}}$	$A$ は正定値対称行列 $\langle x,y\rangle _{A}$ とも表記
$ℂ n$	${\bar {x}}^{\top }y=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}y_{i}$
$ℂ n$	${\bar {x}}^{\top }Hy$	$H$ は正定値エルミート $\langle x,y\rangle _{H}$ とも表記
$S n \times n$	$\operatorname {Tr} (XY)$
$L 2 (Ω)$	$\int _{\Omega }f{\bar {g}}\,d\mu$

実 $n$ 次元ベクトル空間 $ℝ n$: 実 $n$ -次元数ベクトル空間 $ℝ n$ において、任意の二元 $x = (x 1, x 2, \dots, x n), y = (y 1, y 2, \dots, y n)$ に対し、 $\langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$ とすると、この $⟨, ⟩$ は（正定値な）内積の性質を満たす。これを、 $ℝ n$ の標準内積と呼ぶ。標準内積は $ℝ n$ を $n$ 行1列の行列と同一視することで、転置 $⊤$ と行列積を用いて $\langle x,y\rangle =x^{\top }y$ と表わせる。また、 $n$ 次の（正定値）対称行列 $A$ を用いて $\langle x,y\rangle _{A}:=x^{\top }Ay$ とおくと、これも（正定値）内積の性質を満たす。
複素 $n$ 次元ベクトル空間 $ℂ n$: 複素 $n$ -次元数ベクトル空間 $ℂ n$ において、任意の二元 $x = (x 1, x 2, \dots, x n), y = (y 1, y 2, \dots, y n)$ に対し、 $\langle x,y\rangle :=x^{\top }{\bar {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i}$ とすると、この $⟨, ⟩$ はエルミート内積の性質を満たす。また、 $n$ 次の（正定値）エルミート行列 $H$ を用いて $\langle x,y\rangle _{A}:=x^{\top }H{\bar {y}}$ とおくと、これも（正定値）エルミート内積の性質を満たす。
対称行列の空間 $S n \times n$: $n$ 次対称行列の空間 $S n \times n$ について、 $X, Y \in S n \times n$ に対して $\langle X,Y\rangle :=\operatorname {Tr} (XY)$ と取ると、これは内積を与える。
L²空間 $L 2 (Ω)$: $Ω$ をユークリッド空間の開集合とする。 $Ω$ 上の二乗可積分な関数全体の成す集合を関数がほとんど至る所等しい（測度零の集合上でとる値を除いて等しい）という同値関係で割って得られるルベーグ空間 $L 2 (Ω)$ には、二乗可積分関数 $f, g$ について $\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx$ と置いて、エルミート内積が定まる。より一般に、 $(Ω, F, μ)$ を測度空間とすると、 $L 2 (Ω, μ)$ の二元 $f, g$ について $\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f{\bar {g}}\,d\mu$ と置いたものはエルミート内積の性質を満たす。

内積の幾何学性

一つのベクトル空間に定義される内積は一つとは限らない。また、ある内積 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ に対して $\lVert x\rVert :={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ と定めると、1 つのノルム $‖ \cdot ‖$ が定義できる。これを内積が誘導するノルムまたは内積が定めるノルムと呼ぶ。ノルムは与えられた内積ではかった "ベクトルの大きさ" であり、 $\cos \theta ={\frac {\langle a,b\rangle }{\lVert a\rVert \lVert b\rVert }}$ とおくことで、二つのベクトルのなす角が定められる。この意味で内積はベクトル空間に計量 (metric) を定めるという。

このように定義されたノルムは必ず中線定理 $\lVert x+y\rVert ^{2}+\lVert x-y\rVert ^{2}=2(\lVert x\rVert ^{2}+\lVert y\rVert ^{2})$ を満たすという意味で、この等式は幾何学的な性質を示すものと捉えられる。逆に与えられたノルムが内積から誘導されるものであるならば、（実数体 $ℝ$ 上の内積空間のとき） $\langle x,y\rangle :={\frac {1}{4}}(\lVert x+y\rVert ^{2}-\lVert x-y\rVert ^{2})\qquad (\forall x,y)$ または（複素数体 $ℂ$ 上の内積空間のとき） $\langle x,y\rangle :={\frac {1}{4}}((\lVert x+y\rVert ^{2}-\lVert x-y\rVert ^{2})+i(\lVert x+iy\rVert ^{2}-\lVert x-iy\rVert ^{2}))\qquad (i={\sqrt {-1}},\,\forall x,y)$ で定められる函数 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ は内積の性質を満たし、所期の通り与えられたノルムはこの内積から誘導される。この関係式を分極恒等式または偏極恒等式という。

このように、内積はベクトル空間の代数的な性質と幾何的な性質の橋渡しをするものである。詳細については計量ベクトル空間の項を参照されたい。

一般化

内積の公理を適当に弱めることにより、内積を一般化する概念を考えることができる。

退化内積（半内積）

内積と最も関連性の高い一般化は、双線型性や共軛対称性はそのままに、正定値性に関する要請を弱めるものである。ベクトル空間 $V$ とその上の半正定値半双線型形式 $⟨, ⟩$ に対して、写像 $\lVert x\rVert ={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ は意味を持ち、 $‖ x ‖ = 0$ が $x = 0$ を導かないこと以外はノルムの性質をすべて満足する（このような汎函数は半ノルムと呼ばれる）。商線型空間 $W = V /{x : ‖ x ‖ = 0}$ を考えると、半双線型形式 $⟨, ⟩$ は $W$ 上の内積を誘導する。

このような内積空間の構成法は様々な場面で用いられ、特に重要な例はゲルファント＝ナイマルク＝シーガル構成法である。ほかにも任意の集合上の半正定値核函数（英語版）の表現などが例に挙げられる。

非退化共軛対称形式（不定値内積）

→詳細は「擬ユークリッド空間（英語版）」を参照

別な方向での一般化は、（正定値性を落として）対付ける写像が単に非退化双線型形式であるようにするものである。これは各非零元 $x$ は適当な $y$ を取って $⟨ x, y ⟩ \neq 0$ とすることが（ $y = x$ でなくてもいいから）できるということであり、即ち双対空間に引き起こされる写像 $V \to V*$ が単射ということである。この一般化は微分幾何学で重要である。リーマン多様体は各接空間が内積を持つ多様体であるが、これを弱めて非退化共軛対称形式を持つ場合を考えたものは擬リーマン多様体である。シルベスターの慣性法則によれば、任意の内積がベクトルの集合上の正値荷重を持つ点乗積に相似であるのと同様に、任意の非退化共軛対称形式はベクトルの集合上の非零荷重を持つ点乗積に相似になり、またこのとき正および負の荷重の個数はそれぞれ正および負の指数と呼ばれる。ミンコフスキー空間におけるベクトルの積は「不定値内積」の例だが、技術的な言い方をすれば、これは上で述べた標準的な定義に従う「内積」ではない。ミンコフスキー空間は実四次元で、各符号 ( $\pm$ ) の指数は 3 および 1 （符号数 $(3,1)$ }）である。

（正定値性に触れない）純代数的な主張はふつう非退化性（単射準同型 $V \to V*$ ) のみに依存して決まり、ゆえにより一般の状況においても成立する。

脚注

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注釈

^ エルミート対称性のもと、第一変数に関する線型性は第二変数に関する共軛線型性から出る。同様に、第二変数に関する共軛線型性は第一変数の線型性から出る。
^ 注意文献によっては、エルミート内積および半双線型形式は第二引数に関して線型、従って第一引数に関して共軛線型とするもの（特に物理学や行列環に関するもの）と、それとは逆に第一引数に関して線型、第二引数に関して共軛線型とするものがある。前者の分野においては、上記の内積 $⟨ x, y ⟩$ を（量子力学におけるブラケット記法で） $⟨ y | x ⟩$ と書いたり、（点乗積を行ベクトル $A$ と列ベクトル $B$ との行列の積 $AB$ と見て） $y † x$ などと書くことも多い。ここでは、ケットベクトルと列ベクトルはベクトル空間 $V$ に属するベクトルと同一視され、ブラベクトルと行ベクトルは双対空間 $V*$ に属する双対ベクトル（つまり線型汎函数）と同一視され、複素共軛は双対性と関連付けられる。また現在ではより抽象的な文脈においてもこの $⟨ x, y ⟩$ が（ $y$ に関してではなく） $x$ に関して共軛線型とする定義を採用するものが時折みられる^[1]。また、いくつかの文献で妥協点として $⟨, ⟩$ と $⟨ | ⟩$ を両方使い、それぞれどちらの引数に関して共軛線型なのかを区別するものとして扱うものがある。

出典

^ Emch, Gerard G. (1972). Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-23900-0

参考文献

外部リンク

『内積』 - コトバンク
『ベクトルの内積の性質と公式』 - 高校数学の美しい物語
『ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさ』 - 高校数学の美しい物語
Renze, John; Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. "Inner Product". mathworld.wolfram.com (英語).
Rowland, Todd. "Hermitian Inner Product". mathworld.wolfram.com (英語).
inner product - PlanetMath.（英語）
Definition:Inner Product at ProofWiki

[1] エルミート対称性のもと、第一変数に関する線型性は第二変数に関する共軛線型性から出る。同様に、第二変数に関する共軛線型性は第一変数の線型性から出る。

[3] 注意文献によっては、エルミート内積および半双線型形式は第二引数に関して線型、従って第一引数に関して共軛線型とするもの（特に物理学や行列環に関するもの）と、それとは逆に第一引数に関して線型、第二引数に関して共軛線型とするものがある。前者の分野においては、上記の内積 $⟨ x, y ⟩$ を（量子力学におけるブラケット記法で） $⟨ y | x ⟩$ と書いたり、（点乗積を行ベクトル $A$ と列ベクトル $B$ との行列の積 $AB$ と見て） $y † x$ などと書くことも多い。ここでは、ケットベクトルと列ベクトルはベクトル空間 $V$ に属するベクトルと同一視され、ブラベクトルと行ベクトルは双対空間 $V*$ に属する双対ベクトル（つまり線型汎函数）と同一視され、複素共軛は双対性と関連付けられる。また現在ではより抽象的な文脈においてもこの $⟨ x, y ⟩$ が（ $y$ に関してではなく） $x$ に関して共軛線型とする定義を採用するものが時折みられる^[1]。また、いくつかの文献で妥協点として $⟨, ⟩$ と $⟨ | ⟩$ を両方使い、それぞれどちらの引数に関して共軛線型なのかを区別するものとして扱うものがある。

[2] Emch, Gerard G. (1972). Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-23900-0

[注釈 1]

[注釈 2]

[1]

内積

定義