イェルムスレウの定理

イェルムスレウの定理（イェルムスレウのていり、英: Hjelmslev's theorem）は幾何学において、ヨハネス・イェルムスレウの名を冠する定理の一つである。ある直線上に点 $P,Q,R....$ があるとして、他の直線に等長写像となるように点 $P',Q',R'....$ を移す。このとき線分 $PP',QQ',RR'....$ の中点は共線である。

証明はユークリッド平面の等長変換（英語版）を用いて容易に行うことができる。等長写像が奇数であるならば、それは必然的に直線による鏡映か映進変換（英語版）（1つの直線とその2つの垂線による鏡映）となり、平面上の任意の点について主張は真になる。つまり任意の点Pについて、PP'の中点は（映進）鏡映の軸上にある。等長写像が偶数ならば、直線PQRによる鏡映を用いて、奇数と同様の場合にし、証明する。

イェルムスレウの定理の重要な部分は、平行線公準を仮定しない証明が存在する点にある。つまり非ユークリッド幾何学においても成立する。これを利用すると、PをP'P"の中点に移す写像（P',P"はPをある点を中心に鋭角で回転したもの）は双曲平面（英語版）を板の内側に移す全単射の共線写像になるように見えるから、双曲平面の線型構造に直感的な概念を提供できる。これをイェルムスレウ変換（英語版）と呼ぶ。

出典

Martin, George E. (1998), The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.), Springer-Verlag, p. 384, ISBN 978-0-387-90694-2 .

外部リンク

Hjelmslev's Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.
Hjelmslev's Theorem from cut-the-knot