アーベル総和法

解析学において、アーベル総和法（アーベルそうわほう、英: Abel's summability method）とは、級数に対し、有限値を対応させる総和法の一つ。ベキ級数におけるアーベルの定理に因む。

導入

複素数値の数列 {a_n} に対し、級数 ∑∞
n=0 a_n が値 l に収束するとは、部分和

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$

が通常の数列の収束の意味で値 l に収束することで定義される。一方、総和法では、通常の収束の意味を超えて、より広い形での級数の収束を定義する。

例えば、a_n = (−1)ⁿとするグランディ級数 ∑∞
n=0 (−1)ⁿは

$s_{0}=1,\,s_{1}=0,\,s_{2}=1,\,s_{3}=0,\cdots$

となり、通常の意味では収束しない。ここで、x を |x| < 1 を満たす複素数とし、xⁿ を各項 a_n に収束因子として乗ずると、ベキ級数

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}=1-x+x^{2}+\cdots$

は、|x| < 1 で

$f(x)={\frac {1}{1+x}}$

に一様収束する。このとき、左極限 x → 1− は収束し、

$\lim _{x\to 1-}{f(x)}={\frac {1}{2}}$

となり、級数 ∑∞
n=0 (−1)ⁿ に値 1/2 を対応させることができる。

定義

複素数値の数列 {a_n} に対し、ベキ級数

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

が |x| < 1 で収束し、左極限が

$\lim _{x\to 1-}{f(x)}=s$

と有限値 s になるとき、値 s にアーベル総和可能 (Abel summable) といい、

$\operatorname {A-} \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=s$

もしくは

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=s\quad \operatorname {(A)}$

と記す。また、このように {a_n} の級数を f(x) の左極限 x → 1− で定義する総和法をアーベル総和法と呼ぶ。

なお、f(x) は部分和

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$

によって、

$f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}$

とも表すことができる。したがって、f(x) は部分和の列 {s_n} に

$\sum _{n=0}^{\infty }(1-x)x^{n}=(1-x){\frac {1}{1-x}}=1$

を満たす因子 (1 − x)xⁿ を乗じて、和を取っていることになる。

性質

アーベル総和法はチェザロ総和法より強い。すなわち、チェザロ総和可能な級数はアーベル総和可能である。より一般的に k>-1 について、(C, k)-総和可能であれば、アーベル総和可能である。

例

→詳細は「1−2+3−4+…」を参照

$a_{n}=(-1)^{n}(n+1)\quad (n=0,1,2,\cdots )$

で定義される数列 {a_n} に対し、

$\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}=1-2+3-4+\cdots$

は通常の意味では収束せず、またチェザロ総和法でも収束しない。一方でベキ級数

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)x^{n}$

は |x| < 1 で収束し、

$f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}$

となることから1/4にアーベル総和可能である。

拡張

(A, λ_n)-総和法

{λ_n} を

$0\leq \lambda _{0}<\lambda _{1}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots$

を満たす単調増加な数列とする。ここで級数

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp {(-\lambda _{n}x)}$

が任意の x > 0 について収束し、かつ左極限 x → +0 が存在し、

$\lim _{x\to +0}f(x)=s$

と有限値 s になるとき、級数 ∑∞
n=0 a_n は s に (A, λ_n)-総和可能という。 特に λ_n = n の場合は、アーベル総和法に一致する。

(J, p_n)-総和法

アーベル総和法において、ベキ級数 f(x) は部分和の列 {s_n} によって、

$f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s_{n}x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}}}\quad (p_{n}=1)$

と表すことができる。より一般に、数列 {p_n} が

$p_{n}\geq 0,\quad \sum _{k=n}^{\infty }p_{k}>0$

を満たし、{p_n} によって定義されるベキ級数

$p(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}$

が収束半径 r > 0 を持つとする。このとき、

$p_{s}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s_{n}x^{n}$

が 0 ≤ x < r で収束し、かつ

$\lim _{x\to r-}{\frac {p_{s}(x)}{p(x)}}=s$

が成り立つとき、値 s に (J, p_n)-総和可能という。

タウバー型定理

→詳細は「タウバー型定理」を参照

一般に級数はアーベル総和であっても、通常の意味では収束しない。すなわち、ベキ級数におけるアーベルの定理の逆は成り立たない。しかしながら、級数にある種の条件を付与すれば、アーベルの定理の逆が成り立つことがある。そのような例として、1897年にオーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが示したタウバーの定理がある。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ。

フーリエ級数の収束

アーベル総和法はフーリエ級数の収束の議論に応用される。f(x) を長さ L=b −a の有界区間 (a, b) で定義されたリーマン積分可能な複素数値関数で、かつ f(a)=f(b) を満たす周期関数とする。このとき、f(x) は次の形のフーリエ級数展開を持つ。

$f(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f_{n}}}e^{2n\pi ix/L}$

${\hat {f_{n}}}={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}f(x)e^{-2n\pi ix/L}dx$

第一式の右辺におけるフーリエ級数が意味を持つために収束性を考える必要がある。この級数はアーベル総和可能であり、f(x) が連続となる点においてf(x) に収束する。特に f(x) が連続関数であれば、フーリエ級数はアーベル総和の意味で一様収束する。すなわち、

$A_{r}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}{\hat {f_{n}}}e^{2n\pi ix/L}$

を導入すると、この級数は 0 ≤ r <1 で収束し、かつ f(x) が連続となる点で左極限 r → 1 − は f(x) に一致する。この結果の議論はポアソン核

$P_{r}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{2n\pi ix/L}$

の性質に基づく。 (a, b) 上で可積分な関数g(x)、h(x) に対して、畳み込み積分を

$g*h(x)={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}g(y)h(x-y)dy$

で定義すると、

$f*P_{r}(x)=A_{r}(x)$

であり、総和核としてのポアソン核の性質から上述のアーベル総和に関する収束性が示される。

参考文献

• G. H. Hardy, Divergent Series , Clarendon Press (1949)
• Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis, Volume 1), Princeton Univ Prress (2003) ISBN 978-0691113845
• 石黒一男『発散級数論』森北出版 (1977) ISBN 978-4627031494
• 江沢洋『漸近解析（岩波講座　応用数学14）』岩波書店 (1995) ISBN 4000105248

関連項目

• アーベルの連続性定理
• ボレル総和法
• タウバー型定理