アンビリック・トーラス

キャンベラにあるジョン・ロビンソン（彫刻家）による Eternity (1981)

アンビリック・トーラスもしくはアンビリック・ブレスレットは、辺と面をそれぞれ1つしか持たない3次元物体である。その唯一の辺と面は輪を3周回ることで元の位置に戻る構成となっている。断面はデルトイドであるため、デルトイド柱を120°ひねり、他方の端に貼り合わせた図形ともいえる。

アンビリック・トーラスは特異性理論の数学的対象であり、特に実3次関数$ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}$によって決定される臍点の分類において扱われる。この3次関数と等価なクラスは3次元の実射影空間を形成し、2次曲線放物線放物線形の部分集合が、表面を定義する。その1つがこのアンビリック・トーラスであり、1976年にクリストファー・ゼーマンによってアンビリック・ブレスレットと命名された。

トーラスは、次のパラメトリック方程式によって定義される。

$x=\sin u\left(7+\cos \left({u \over 3}-2v\right)+2\cos \left({u \over 3}+v\right)\right)$

$y=\cos u\left(7+\cos \left({u \over 3}-2v\right)+2\cos \left({u \over 3}+v\right)\right)$

$z=\sin \left({u \over 3}-2v\right)+2\sin \left({u \over 3}+v\right)$

${\mbox{for }}-\pi \leq u\leq \pi ,\quad -\pi \leq v\leq \pi$

他の図形との関連

2次元空間の円は、1本の辺しかない1次元の輪（円環）で、その断面は0次元の点となる。3次元空間のメビウスの帯は、1本の辺しかない2次元の面で、その断面は0次元の線となる。そしてこのアンビリック・トーラスは3次元立体で、1本の辺しかない3次元の立体で、その断面は2次元のデルトイドとなる。円、メビウスの帯、アンビリック・トーラスはそれぞれ1、2、3次元のリング状といえる。

アート

1989年、ジョン・ロビンソンはアンビリック・トーラスによく似た Eternity という名の彫刻を作った。この彫刻はデルトイドではなく三角形の断面を持つため、厳密にはアンビリック・トーラスではない。また、イアン・ポーティスの『Geometric Differentiation』の表紙に採用された。

ヒラマン・ファーガソンはアンビリック・トーラスの69センチメートル（27インチ）の銅製の彫刻を作り、彼の代表作となった。2010年にはジェームズ・シモンズがニューヨーク州立大学ストーニーブルック校のSimons Center for Geometry and Physics付近にアンビリック・トーラスの彫刻を発注したと発表された。この彫刻は鋳造ブロンズでできており、ステンレス製の支柱に取り付けられている。彫刻の総重量は65トンで高さは8.5メートル（28フィート）、トーラスの直径は花崗岩の土台と同じ直径7.3メートル（24フィート）である。また、トーラスを定義する数式が土台に記されている。2012年9月に取り付けが完了した。

関連項目

• トーラス
• メビウスの帯
• クラインの壺 - 向き付け不可能だが境界が無い曲面。
• クライン体 - メビウスの帯をアンビリック・トーラスとは別の意味で3次元に拡張したもの。
• ボーイ・サーフェス - メビウスの帯、クラインの壺、と関係が深い。

外部リンク

• Umbilic Torus on Ferguson site
• Discussion of Robinson's Eternity