σコンパクト空間

数学において、位相空間がσコンパクト (σ-compact) であるとは、可算個のコンパクト部分空間の合併であることをいう 。

空間がσ局所コンパクト (σ-locally compact) であるとは、σコンパクトかつ局所コンパクトであることをいう。

性質と例

• すべてのコンパクト空間はσコンパクトであり、すべてのσコンパクト空間はリンデレーフ空間である（すなわちすべての開被覆は可算部分被覆を持つ）。逆は成り立たない。例えば、標準的なユークリッド空間 (Rⁿ) はσコンパクトだがコンパクトでなく、実数直線上の下極限位相はリンデレーフだが σ コンパクトでない。実は、補可算位相はリンデレーフだがσコンパクトでも局所コンパクトでもない。

• σコンパクトかつ局所コンパクトな空間はパラコンパクトである。とくに、多様体がσコンパクトならばパラコンパクトである。逆に、パラコンパクト多様体の連結成分の個数が高々可算個であればσコンパクトである。

• ハウスドルフベール空間がσコンパクトでもあれば少なくとも1点で局所コンパクトでなければならない。

• G が位相群で G が1点で局所コンパクトであれば、G はすべての点で局所コンパクトである。したがって、直前の性質より、G がσコンパクトハウスドルフ位相群でベール空間でもあれば、G は局所コンパクトである。これはハウスドルフ位相群がベール空間でもあればσコンパクト性から局所コンパクト性が従うことを示している。

• 直前の性質より例えば R^ω はσコンパクトでない。なぜならば、仮にσコンパクトとすると、R^ω は位相群であってベール空間でもあるから、局所コンパクトでなければならない。

• すべての半コンパクト空間はσコンパクトである。しかしながら、逆は正しくない。例えば、有理数全体からなる空間に通常の位相を入れると σ コンパクトだが半コンパクトではない。

• σコンパクト空間の有限個の積はσコンパクトである。しかしながら、σコンパクト空間の無限個の積はσコンパクトとは限らない。

• σコンパクト空間 X が第二類(resp. ベール) であることと X が局所コンパクトであるような点の集合が X において空でない（resp. 稠密である）ことは同値である。

関連項目

• Exhaustion by compact sets
• リンデレーフ空間

参考文献

• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6 
• 松島与三 (2008). 多様体入門. 数学選書5 (37 ed.). 裳華房. ISBN 978-4-7853-1305-0