q-類似

$q$ -類似（きゅーるいじ、英: $q$ -analog, $q$ -analogue）とは、理論に $q \to 1$ の極限で、元の理論に一致するように径数 $q$ を導入するような拡張のことをいう。 $q$ -拡張（英: q-extension）などとも呼ばれる。

概要

最も基本的な $q$ -数 $[n] q$ とは、自然数 $n$ の $q$ -類似であって、 $q \to 1$ の極限で $[n] q \to n$ となるように

[n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}

と定義される。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、 $q\mapsto q^{-1}$ で不変な

[n]_{q}:={\frac {q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}}}

あるいは

[n]_{q}:={\frac {q^{n/2}-q^{-n/2}}{q^{1/2}-q^{-1/2}}}

と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の $q$ -階乗や $q$ -二項係数は $q$ -数を用いて同様に定義される。

また $q$ -階乗 $[n] q!$ は、 $q$ -数によって

[n]_{q}!:=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}

と定義される。ただし $(q; q) n$ は $q$ -ポッホハマー記号を表す。

このとき $S n$ を $n$ 次の対称群、 $inv(σ)$ を置換 $σ$ の転倒数として、

[n]_{q}!=\sum _{\sigma \in S_{n}}q^{\operatorname {inv} (\sigma )}

が成り立つ^[1]。これは $q\to 1$ の極限で、通常の階乗 $n!$ が $n$ 個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。また有限体 $F q$ 上の一般線型群 $GL(n, q)$ の位数は

\vert \operatorname {GL} (n,q)\vert =[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{\binom {n}{2}}

と表せる。

$q$ -二項係数は、二項係数の $q$ -類似で、

{\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}

によって定義される^[1]。 $q$ が素数のべきのとき、 $q$ -二項係数は有限体 $F q$ 上の $n$ 次元線型空間内における $k$ 次元部分空間の数に等しい^[1]。

より一般に $q$ -多項係数は $n = k 1 + \dots + k m$ のとき

{\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[k_{1}]_{q}!\dotsm [k_{m}]_{q}!}}

によって定義される^[1]。このとき

{\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\binom {n}{k_{1}}}_{q}{\binom {n-k_{1}}{k_{2}}}_{q}\dotsm {\binom {n-k_{1}-\dotsb -k_{m-1}}{k_{m}}}_{q}

{\binom {n}{k}}_{q}={\binom {n-1}{k}}_{q}+q^{n-k}{\binom {n-1}{k-1}}_{q}

のようなよく知られた等式の類似が成り立つ^[1]。

$q$ -微分は微分の $q$ -類似で、任意の関数 $ƒ (x)$ について $q$ -微分を

d_{q}(f(x))=f(qx)-f(x)

によって定義する。さらに導関数の $q$ -類似である $q$ -導関数は

D_{q}(f(x))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}

によって定義される^[2]。

^ ^a ^b ^c ^d ^e Stanley 2012, § 1.7.
^ FUNCTIONS q-ORTHOGONAL WITH RESPECT TO THEIR OWN ZEROS, LUIS DANIEL ABREU, Pre-Publicacoes do Departamento de Matematica Universidade de Coimbra, Preprint Number 04–32