$p$ 進周期環

数学の（ピーしんしゅうきかん、英: $p$ -adic period rings）とは、 $p$ 進数体に関係するある一群の環の総称である。 $p$ 進ホッジ理論や $p$ 進ガロア表現の理論、岩澤理論の研究に使われる^[1]^[2]^[3]。ジャン＝マルク・フォンテーヌ（英語版）によって導入された^[4]。

性質

$p$ を素数、 $K$ を標数0の完備な離散付値体でその剰余体 $k$ は完全体かつ標数が $p$ であるものとする^[5]^[4]^[6]。例えば $p$ 進数体 $Q p$ の有限次拡大などがこのような体の例である^[5]。剰余体が有限体であることは必ずしも仮定しない。これは剰余体が代数閉体である場合を扱えるようにしておくためである^[6]。

$K$ から $p$ 進周期環^[7]と呼ばれる環 $B dR$ , $B crys$ ^{[注 1]}, $B st$ が構成される（#構成参照）。 $B dR$ は $p$ 進周期の体^[9]^[10]、 $B crys$ は crystalline period ring（直訳: クリスタリン周期環）^[11] と呼ばれることもある。これらの環は次に述べる性質を持っている。

記号^{[注 2]} 整数環が定義できる体 $F$ に対してその整数環を $𝒪 F$ で表す。また体 $F$ に対してその代数的閉包を $F$ 、絶対ガロア群を $G F$ で表す。 $C K$ を $K$ の完備化とする^{[注 3]}。 $W$ を $k$ に係数を持つヴィット・ベクトル（英語版）の環 $W (k)$ とし、その商体を $K 0$ とする。 $K$ は $K 0$ 上の有限次完全分岐拡大になる。 $P 0$ を $k$ に係数を持つヴィット・ベクトルの環 $W (k)$ の商体とする。 $N$ を0以上の整数の集合とする。整数 $n$ に対して $Q p (n)$ で $G K$ が円分指標の $n$ 乗で作用する $Q p$ 上の1次元ベクトル空間を表す^[12]。 $C K (n)$ も同様。

$B dR$

$B dR$ は完備離散付値体である^[13]。その剰余体は自然に $C K$ と同型である。 $B dR$ の離散付値を $v$ 、離散付値環を $B + dR$ で表す。
整数 $i$ に対して付値が $i$ 以上の元からなる $B dR$ の部分集合を $Fil i B dR$ で表す。これは $B dR$ の減少フィルトレーションを定める。
$B dR$ には絶対ガロア群 $G K$ が作用する。剰余体への射影 $Fil 0 B dR \to C K$ はこのガロア群の作用と可換である。
$G K$ の作用と可換な $Q p$ 線型な自然な単射 $Q p (1) ↪ Fil 1 B dR$ が存在する。この写像による0ではない元の像は $B dR$ の素元になる。この自然な単射から任意の整数 $i$ に対し自然な単射 $Q p (i) ↪ Fil i B dR$ が定まる。 $gr i Fil B dR$ と $C K (i)$ は $G K$ の作用も込みで同型である。
$B G K dR = K$
$B dR$ は $K$ をその有限次拡大に置き換えても変わらない。
$B + dR$ は $K$ を含む^[14]。これは自明なことではない^[15]。
$B + dR$ は離散付値から定義される位相を持つ^[16]。これとは別に、定義 $B + dR ≔ lim \leftarrow K \otimes W W (R)/Ker(θ K) m$ に現れる $W (R)$ の位相の逆極限から得られる位相もある。Fontaine & Ouyang (2008, p. 93) はこの位相を natural topology（直訳: 自然位相）と呼んでいる。
環準同型 $s : C K \to B + dR$ であって $θ \circ s$ が恒等写像となるものが存在する。ここで $θ$ は $B + dR$ からその剰余体 $C K$ への自然な準同型である。しかし一意には定まらず $G K$ の作用と可換にもならない。

$B crys$

$B crys$ は $G K$ 作用に関して閉じている $B dR$ の部分環である^[13]。体の部分環なので整域である^[17]。
$B crys$ は $P 0$ と $Q p (i)$ を含む（ $i$ は任意の整数）^[13]。
$B crys$ は $B dR$ の減少フィルトレーションから誘導される減少フィルトレーションを持つ。このフィルトレーションに関して $gr i Fil B crys = gr i Fil B dR$ が任意の整数 $i$ に対して成り立つ。これは形式的ローラン級数環 $C ⟦ X ⟧[X -1]$ と係数の絶対値が急減少するべき級数からなるその部分環との関係に似ている。
B_crys はフロベニウスと呼ばれる単射自己準同型 φ: B_crys → B_crys を持つ。これは次の性質を持つ。
- $P 0$ のフロベニウスに関して半線型。
- $G K$ の作用と可換。
- $t \in Q p (1) \subset B crys$ に対して $φ (t) = pt$ が成り立つ。
- $Fil 0 B dR \cap B φ =1 crys = Q p$
$B G K crys = K 0$
$B crys$ も $K$ をその有限次拡大に置き換えても変わらない。

$B st$

$B st$ は $G K$ 作用に関して閉じている $B crys$ を含む $B dR$ の部分環である^[18]。体の部分環なので整域である^[17]。
$B st$ は $u s$ と書かれる一つの元で $B crys$ 上生成される。 $u s$ は $B crys$ 上超越的なので^[19]、 $B st$ は $B crys$ 上の一変数多項式環と同型な環である^[18]。 $u s$ は $K$ の素元 $π$ の取り方によるので、 $B st$ はこの素元の取り方に依存する環である。
$B st$ はフロベニウスと呼ばれる単射自己準同型 $φ : B st \to B st$ を持つ。フロベニウスの作用は $B crys$ 上では $B crys$ のフロベニウスと同じ。 $u s$ には $φ (u s) = pu s$ で作用する。フロベニウスは $G K$ の作用と可換である。
$B st$ はモノドロミー作用素と呼ばれる $B crys$ 上の導分（英語版） $N$ を持つ。 $N$ は $N (u s) = 1$ で定義され、 $G K$ の作用と可換である。
フロベニウスとモノドロミー作用素は関係式 $Nφ = pφN$ を満たす。
$B G K st = K 0$
$B N =0 st = B crys$
$Fil 0 B dR \cap B N =0, φ =1 st = Q p$
$B st$ は $B dR$ への埋め込みを忘れれば $K$ をその有限次拡大に置き換えても変わらず（モノドロミー作用素は分岐指数に応じて変わる）、 $K$ の素元 $π$ の取り方にも依らない。

構成

$p$ 進周期環は次のように構成される。

$B dR$

環 $R$ を射影系

{\mathcal {O}}_{\bar {K}}/p{\mathcal {O}}_{\bar {K}}\xleftarrow {(\cdot )^{p}} {\mathcal {O}}_{\bar {K}}/p{\mathcal {O}}_{\bar {K}}\xleftarrow {(\cdot )^{p}} {\mathcal {O}}_{\bar {K}}/p{\mathcal {O}}_{\bar {K}}\xleftarrow {(\cdot )^{p}} \cdots

の逆極限 $R = lim \leftarrow 𝒪 K / p𝒪 K$ として定義する^[20]。つまり、 $R$ は集合としては $𝒪 K / p𝒪 K$ の元の無限列 $(a 0, a 1, a 2, ...)$ であって $a n = a p n +1$ を満たすもの全体である。また、環の加法や乗法は成分ごとに定義されたものである。

$W (R)$ を $R$ を係数とするヴィット・ベクトルのなす環とする。 $W (R)$ から $K$ の完備化 $C K$ の整数環 $𝒪 C K$ への写像 $θ$ を

\theta ((a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ))=\lim _{m\to \infty }{\tilde {a}}_{(0,m)}^{p^{m}}+p{\tilde {a}}_{(1,m)}^{p^{m-1}}+p^{2}{\tilde {a}}_{(2,m)}^{p^{m-2}}+\cdots +p^{m}{\tilde {a}}_{(m,m)}

で定義する。ここで、 $~ a n, m \in 𝒪 K$ は、 $W (R)$ の元 $(a 0, a 1, a 2, ...)$ に対しその第 $n$ 成分 $a n = (a n, 0, a n, 1, a n, 2, ...)$ の第 $m$ 成分 $a n, m \in 𝒪 K / p𝒪 K$ を $𝒪 K$ に持ち上げたものである。 $θ$ は全射の環準同型である。また、その核は単項イデアルである。

$R$ は自然に $k$ 代数になる^[21]ので $W (R)$ は自然に $W ≔ W (k)$ 代数になる。 $θ$ を $K$ 線型に延長した写像 $K \otimes W W (R) \to C K$ を $θ K$ とし、 $B + dR$ を

B_{\mathrm {dR} }^{+}=\varprojlim _{m}(K\otimes _{W}W(R))/\mathrm {Ker} (\theta _{K})^{m}

で定義する。その商体を $B dR$ とする。

$B crys$

記号は前節と同じとする^[14]。 $ξ p$ を準同型 $θ : W (R) \to 𝒪 C K$ の核の生成元とし、 $Q p \otimes Z p W (R)$ の部分環 $W PD (R)$ を

W^{\mathrm {PD} }(R):=W(R)[\xi _{p}^{n}/n!(n\in \mathbb {N} )]

で定義する。 $W PD (R)$ の $p$ 進完備化を $A crys$ とし、 $B + crys$ を

B_{\mathrm {crys} }^{+}:=A_{\mathrm {crys} }[p^{-1}]

で定義する^[22]。 $B + crys$ は $B dR$ に埋め込める。 $t$ を自然な単射 $Q p (1) ↪ Fil 1 B dR$ による0ではない元の像とする^[23]。 $B crys$ を

B_{\mathrm {crys} }=B_{\mathrm {crys} }^{+}[t^{-1}]

で定義する。

$B st$

記号は前節と同じとする^[19]。 $π$ を $K$ の素元として、 $s = (s n) n \in N$ を $π$ の $𝒪 K$ における $p$ べき乗根の系、つまり $s 0 = π, s p n+1 = s n$ を満たすような $𝒪 K$ の元の列とする。 $s ≔ (s n mod p) n \in N$ と置くと、これは $R$ の元を定める。 $W (R)$ の元 $[s]$ を $s$ のタイヒミュラー代表元（英語版）とし、 $B + dR$ の元 $u s$ を

u_{s}:=\log(\pi ^{-1}\otimes [{\underline {s}}])=\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}n^{-1}(\pi ^{-1}\otimes [{\underline {s}}]-1)^{n}

で定義する。右辺の級数は $θ ([s]) = π$ であることにより $θ (π -1 \otimes [s]) = 1$ が成り立つので $B + dR$ で収束する。

$B st$ を $B crys$ 上 $u s$ で生成される環として定義する。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ 文献によっては crys ではなく cris と書いている。Fontaine & Ouyang (2008) など。英語の crystal はフランス語では cristal である^[8]。
^ $C K$ を除き Tsuji (1999, p. 1) に従っている。
^ この記号は Brinon & Conrad (2009, p. 10) に合わせた。

出典

^ Brinon & Conrad 2009.
^ Fontaine & Ouyang 2008.
^ Colmez 2004.
^ ^a ^b Tsuji 1999, p. 1.
^ ^a ^b Fontaine & Ouyang 2008, p. 175.
^ ^a ^b Brinon & Conrad 2009, p. 7.
^ 中村 2010, p. 2.
^ crystal - French translation – Linguee
^ p進数
^ Brinon & Conrad 2009, p. 60.
^ Brinon & Conrad 2009, p. 131.
^ Fontaine & Ouyang 2008, pp. 4f.
^ ^a ^b ^c Tsuji 1999, p. 3.
^ ^a ^b Tsuji 1999, p. 7.
^ 中村 2010, p. 5.
^ Fontaine & Ouyang 2008, p. 93.
^ ^a ^b Fontaine & Ouyang 2008, p. 131.
^ ^a ^b Tsuji 1999, p. 4.
^ ^a ^b Tsuji 1999, p. 10.
^ Tsuji 1999, p. 5.
^ Brinon & Conrad 2009, pp. 50f.
^ Tsuji 1999, p. 8.
^ Tsuji 1999, p. 9.

参考文献

辻雄「Introduction to the theory of Fontaine on p-adic Galois representations (Algebraic Number Theory and Related Topics)」『数理解析研究所講究録』第1097巻、京都大学数理解析研究所、1999年4月、1-26頁、CRID 1050001202297633536、hdl:2433/63025、ISSN 1880-2818。
中村健太郎「p-進表現論入門」『l進ガロア表現とガロア変形の整数論』（PDF） 17巻〈l進ガロア表現とガロア変形の整数論報告集〉、2010年。 NCID BB01563597。「参照先は「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」報告集の原稿ページ」
Colmez, Pierre (2004), Fontaine's rings and p-adic L-functions
Fontaine, Jean-Marc; Ouyang, Yi (2008). Theory of p-adic Galois representations 2023年3月21日閲覧。
Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009). CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory 2023年3月21日閲覧。

[9] 文献によっては crys ではなく cris と書いている。Fontaine & Ouyang (2008) など。英語の crystal はフランス語では cristal である^[8]。

[13] $C K$ を除き Tsuji (1999, p. 1) に従っている。

[14] この記号は Brinon & Conrad (2009, p. 10) に合わせた。

[FOOTNOTEBrinonConrad2009-1] Brinon & Conrad 2009.

[FOOTNOTEFontaineOuyang2008-2] Fontaine & Ouyang 2008.

[FOOTNOTEColmez2004-3] Colmez 2004.

[FOOTNOTETsuji19991-4] Tsuji 1999, p. 1.

[FOOTNOTEFontaineOuyang2008175-5] Fontaine & Ouyang 2008, p. 175.

[FOOTNOTEBrinonConrad20097-6] Brinon & Conrad 2009, p. 7.

[FOOTNOTE中村20102-7] 中村 2010, p. 2.

[8] rystal - French translation – Linguee

[10] 進数

[FOOTNOTEBrinonConrad200960-11] Brinon & Conrad 2009, p. 60.

[FOOTNOTEBrinonConrad2009131-12] Brinon & Conrad 2009, p. 131.

[FOOTNOTEFontaineOuyang20084f-15] Fontaine & Ouyang 2008, pp. 4f.

[FOOTNOTETsuji19993-16] Tsuji 1999, p. 3.

[FOOTNOTETsuji19997-17] Tsuji 1999, p. 7.

[FOOTNOTE中村20105-18] 中村 2010, p. 5.

[FOOTNOTEFontaineOuyang200893-19] Fontaine & Ouyang 2008, p. 93.

[FOOTNOTEFontaineOuyang2008131-20] Fontaine & Ouyang 2008, p. 131.

[FOOTNOTETsuji19994-21] Tsuji 1999, p. 4.

[FOOTNOTETsuji199910-22] Tsuji 1999, p. 10.

[FOOTNOTETsuji19995-23] Tsuji 1999, p. 5.

[FOOTNOTEBrinonConrad200950f-24] Brinon & Conrad 2009, pp. 50f.

[FOOTNOTETsuji19998-25] Tsuji 1999, p. 8.

[FOOTNOTETsuji19999-26] Tsuji 1999, p. 9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[注 1]

[9]

[10]

[11]

[注 2]

[注 3]

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[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[8]

性質

BdR

Bcrys

Bst

構成

BdR

Bcrys

Bst

脚注

注釈

出典

参考文献

$B dR$

$B crys$

$B st$

$B dR$

$B crys$

$B st$