慣性モーメント

慣性モーメント
量記号	I
次元	L2 M
種類	2階テンソル
SI単位	kg m2
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古典力学
	; 運動の第2法則
	歴史（英語版）
分野
	静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学
定式化
	ニュートン力学; 解析力学: ラグランジュ力学; ハミルトン力学 ; ;
基本概念
	空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理
主要項目
	剛体 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転 · 円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度
科学者
	ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン
	表; 話; 編; 歴;

慣性モーメント（かんせいモーメント、英: moment of inertia）あるいは慣性能率（かんせいのうりつ）、イナーシャ $I$ とは、物体の角運動量 $L$ と角速度 $ω$ との間の関係を示す量である。

定義

質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル $ω$ で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル $L$ は次のように書ける。

${\boldsymbol {L}}=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{i}))=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {\omega }}r_{i}^{2}-{\boldsymbol {r}}_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))$ ^[1]

ここで $m i$ は $i$ 番目の質点の質量、 $r i$ は回転軸上の原点との相対座標であり $r i$ はその大きさである。この式からわかるように、 $L$ は $ω$ と向きは必ずしも一致しないが、 $ω$ を線形変換したものになっている。つまり、その線形変換を $I$ とすると、

${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {\omega }}$

と表せる。この変換 $I$ は2階のテンソルであり、 $L$ と $I$ の各成分は

{\begin{aligned}L_{j}&=\sum _{k=1}^{3}I_{jk}\omega _{k}\\I_{jk}&=\sum _{i}m_{i}\left(r_{i}^{2}\delta _{jk}-r_{i,j}r_{i,k}\right)\end{aligned}}

という形に表される^[2]。ここに $δ jk$ はクロネッカーのデルタ、 $r i, j$ はベクトル $r i$ の $j$ 成分である。 $I$ を行列表示すると

${\boldsymbol {I}}=\sum _{i}{\begin{pmatrix}m_{i}(r_{i}^{2}-x_{i}^{2})&-m_{i}x_{i}y_{i}&-m_{i}x_{i}z_{i}\\-m_{i}y_{i}x_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-y_{i}^{2})&-m_{i}y_{i}z_{i}\\-m_{i}z_{i}x_{i}&-m_{i}z_{i}y_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-z_{i}^{2})\end{pmatrix}}$

となる。この定義から $I$ は対称テンソルである。この2階のテンソル $I$ を慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ^[2]。また、慣性テンソルの対角成分 $I xx$ 、 $I yy$ 、 $I zz$ を（それぞれ $x$ 、 $y$ 、 $z$ 軸に関する）慣性モーメント係数（英: moment of inertia coefficient）と呼び、 $I xy$ 、 $I yz$ 、 $I zx$ は 慣性乗積（英: products of inertia）と呼ぶ^[3]。

なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度 $ρ$ を用いて

$I_{jk}=\int \rho ({\boldsymbol {x}})\left(|{\boldsymbol {x}}|^{2}\delta _{jk}-x_{j}x_{k}\right)d^{3}x$

となる^[4]。

ある軸まわりの慣性モーメント

物体をある回転軸まわりに回転させたとき、 $ω$ と同じ向きをもつ単位ベクトル $n$ をもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。

${\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}\omega {\boldsymbol {n}})={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})\omega \equiv I\omega$

ここで、 $ω = | ω |$ は角速度の大きさである。

ここに与えられたスカラー量 $I={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})=\sum _{i}m_{i}(r_{i}^{2}-({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {n}})^{2})$ をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ^[5]。

慣性主軸と主慣性モーメント

慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 ${e 1, e 2, e 3}$ を選ぶことで対角化（すなわち $I xy = I yz = I zx = 0$ と）することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント ${I 1, I 2, I 3}$ を主慣性モーメントと呼ぶ^[6]。慣性主軸座標系では角運動量は

{\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}

と単純に表すことができる。

計算例

棒の両端の質量

重さの無視できる長さ $L$ の棒の両端に、質量 $m$ 、 $M$ の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ $a$ 、 $L - a$ とする。このとき、中心に対する慣性モーメント $I$ は、

I=ma^{2}+M(L-a)^{2}=(m+M)\left(a-{\frac {M}{m+M}}L\right)^{2}+{\frac {mM}{m+M}}L^{2}

と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心（回転軸）のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。

円板

半径 $a$ 、全質量 $M$ の、一様な密度 $ρ = M / πa 2$ をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは

$I={\frac {1}{2}}a^{2}M$

となる。

これは中心から半径 $r$ 、幅 $d r << r$ のリングの質量 $d M$ を考えると

$\mathrm {d} M=2\pi r\rho \mathrm {d} r$

より、このリングの慣性モーメント $d I$ が

$\mathrm {d} I=r^{2}\mathrm {d} M=2\pi \rho r^{3}\mathrm {d} r$

だから

$I=\int _{0}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho \int _{0}^{a}r^{3}\mathrm {d} r={\frac {1}{2}}\rho \pi a^{4}$

より求めることができる。

リング状円板

円板外半径 $a$ 、くり抜き内半径 $b$ 、全質量 $M$ のリング状円板では、前出の $d I$ を用いて

$I=\int _{b}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho {\frac {1}{4}}(a^{4}-b^{4})={\frac {1}{2}}\pi \rho (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})={\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2})M$

となる。

性質

一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。

また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値 $I G$ をとり、軸が重心から距離 $h$ だけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメント $I h$ は

$I_{h}=I_{\mathrm {G} }+Mh^{2}$

となる^[7]。

→詳細は「平行軸の定理」を参照

慣性テンソル $I$ の物体が角速度 $ω$ で回転しているとき、その回転に伴う運動エネルギー $T$ は

$T={\frac {1}{2}}\sum _{jk}I_{jk}\omega _{j}\omega _{k}$

と表示できる^[8]。

応用

工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール（はずみ車）という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。

脚注

[脚注の使い方]

^ (ゴールドシュタイン 1983, p. 248) 式(5-2)
^ ^a ^b (ゴールドシュタイン 1983, p. 254)
^ (ゴールドシュタイン 1983, p. 249)
^ (ランダウ & リフシッツ 1986, p. 124)
^ (ゴールドシュタイン 1983, p. 255) 式 (5-19)
^ (ランダウ & リフシッツ 1986, pp. 124–125)
^ ^a ^b (戸田 1982, pp. 167–175)
^ (ランダウ & リフシッツ 1986, pp. 122–124)
^ 谷腰欣司『小型モーターのしくみ』電波新聞社、2004年、24頁。ISBN 4-88554-775-X。
^ 堀野正俊『機械力学入門』理工学社、1990年、97頁。ISBN 4-8445-2253-1。
^ 谷腰欣司『小型モータとその使い方』日刊工業新聞社、1987年、21頁。ISBN 4-526-02147-4。
^ 電気学会電気規格調査会標準規格『JEC-2130　同期機』電気書院、2016年、8頁。
^ 日本工業標準調査会『JIS B 0119 水車及びポンプ水車用語』日本規格協会、2009年。
^ 電気設備学会編『電気設備用語辞典』オーム社、2008年。ISBN 978-4-274-20962-8。
^ モータ技術用語辞典編集委員会編『モータ技術用語辞典』日刊工業新聞社、2002年、52頁。ISBN 4-526-05034-2。
^ 電気用語辞典編集委員会編『電気用語辞典』コロナ社、1997年、643頁。ISBN 4-339-00411-1。

参考文献

戸田, 盛和『力学』岩波書店、1982年。ISBN 4-00-007641-8。
谷腰, 欣司『小型モーターのしくみ』電波新聞社、2004年。ISBN 4-88554-775-X。
ゴールドシュタイン著、瀬川富士、矢野忠、江沢康生訳『古典力学 (上)』吉岡書店〈物理学叢書 (11a)〉、1983年8月25日。ISBN 4-8427-0208-7。
ランダウ, L. D.、リフシッツ, E. M.『力学』広重徹, 水戸巌（訳）（増訂第3版）、東京図書、1986年、69-73頁。ISBN 978-4489011603。

量	回転運動		並進運動
力学変数（ベクトル）	角度	${\boldsymbol {\theta }}$	位置	${\boldsymbol {r}}$
一階微分（ベクトル）	角速度	${\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}$	速度	${\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}$
二階微分（ベクトル）	角加速度	${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}$	加速度	${\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}$
慣性（スカラー）	慣性モーメント	$I$	質量	$m$
運動量（ベクトル）	角運動量	${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}$	運動量	${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$
力（ベクトル）	力のモーメント	${\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}$	力	${\boldsymbol {F}}$
運動方程式	$I{\frac {d^{2}{\boldsymbol {\theta }}}{dt^{2}}}={\boldsymbol {N}}$		$m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}={\boldsymbol {F}}$
運動エネルギー（スカラー）	${\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$		${\frac {1}{2}}mv^{2}$
仕事（スカラー）	${\boldsymbol {N}}\cdot \Delta {\boldsymbol {\theta }}$		${\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {r}}$
仕事率（スカラー）	${\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}$		${\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}$
ダンパーとばねに発生する力を考慮した運動方程式	$I\alpha +c\omega +k\theta =N$		$ma+cv+kx=F$