ブラ-ケット記法

ブラ-ケット記法（ブラ-ケットきほう、英: bra-ket notation）またはディラックの記法^[1]（ディラックのきほう、英: Dirac notation）は^{[注 1]}、量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。

ブラケット（bra-ket）という呼称は、量子状態をブラ（bra） $⟨ φ |$ とケット（ket） $| ψ ⟩$ と呼ばれる2つのベクトルで表すこと、またブラとケットの内積 $⟨ φ | ψ ⟩$ が括弧（bracket）を成すことに由来する。

ブラケット記法は1939年のポール・ディラックの論文(Dirac 1939)で提案された。ディラックの教科書 the principles of quantum mechanics では1947年の第3版からブラケット記法を採用している^[2]。

ブラ・ケット

ブラ $⟨ φ |$ はケット $| ψ ⟩$ のなすベクトル空間の双対空間の元として定義される。ケットをケットへ写す線型な関数（線型作用素）を ${\hat {O}}$ で表し、ケットに対する適用を ${\hat {O}}|\psi \rangle$ と表す。ブラケット記法において、以下の関係を満たすブラへの作用素は、ケットに対する作用素と同じ記号で表される。

\{\langle \phi |{\hat {O}}\}|\psi \rangle =\langle \phi |\{{\hat {O}}|\psi \rangle \}

通常、上記の内積は括弧を外して $\langle \phi |{\hat {O}}|\psi \rangle$ と表される。また特に任意のケット $| ψ ⟩$ に作用してケット $| η ⟩ ⟨ ξ | ψ ⟩$ を与える作用素は $| η ⟩ ⟨ ξ |$ と表される。また同様のブラに対する作用素も同じ記号で $| η ⟩ ⟨ ξ |$ と表される。

性質

ブラの随伴はケット、ケットの随伴はブラである。

\langle \psi |^{\dagger }=|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |

また、ある状態 $|\psi \rangle$ において、観測可能量 ${\hat {O}}$ の期待値はブラ $⟨ ψ |$ とケット $ˆ O | ψ ⟩$ の内積 $\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle$ として表される。

初学者向けの説明として、ケットは列ベクトル、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある（行列表示を参照）。

利点と欠点

この記法の利点として

基底に依存しない記述が可能
固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える
中身の書き方を自由に工夫して記述できる（パラメータだけを並べて $| n, l, m ⟩$ としたり、 $|生きている猫 ⟩$ と書くこともできる）

などがある^[3]。

無限次元での取り扱い

ディラックの説明によればケット $| ψ ⟩$ の空間においてブラ $⟨ φ |$ は線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。

正規直交基底とブラケット記法

正規直交基底のうち2つのラベルを $α, β$ として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて

\langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha ,\beta },

連続基底ではデルタ関数を用いて

\langle \alpha |\beta \rangle =\delta (\alpha -\beta )

となる。

また正規直交基底の完全性は離散基底について、

\sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |=1

連続基底について、

\int \mathrm {d} \alpha ~|\alpha \rangle \langle \alpha |=1

と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない「固有ベクトル」 $|\alpha \rangle$ があるかのように書いている^[4]（量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照）。

第二量子化とブラケット記法

第二量子化された粒子生成演算子 $a †$ を用いて2粒子状態を

|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle

と定義する。この時 $a †$ がフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係 ${a † α, a † β} = 0$ を満たすので、

|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =-a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =-|\beta \alpha \rangle

となり、反対称化されている。

また $a †$ がボース粒子を表す演算子であれば、これらは交換関係 $[a † α, a † β] = 0$ を満たすので、

|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =|\beta \alpha \rangle

となり、対称化されている。

波動関数との関係

ケット $| ψ ⟩$ と、（位置表示の）波動関数 $ψ (x)$ の関係は以下のように表される^[5]。

\psi (x)=\langle x|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ \psi (x)\ |x\rangle

ただし、位置を表す演算子 ${\hat {x}}$ の固有値を $x$ 、対応する固有ケットを $| x ⟩$ とする； ${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle$ 。

出典

[脚注の使い方]

^ Dirac 1968.
^ Dirac 1947, PREFACE TO THIRD EDITION.
^ 北野 2013.
^ 原 2009, p. 9, 3.1.1 Dirac の記法と三つ組み.
^ 北野 2010, pp. 95–96.

注釈

[脚注の使い方]

^ 以下、本稿では「ブラケット記法」と呼ぶ。

参考文献

Dirac, P. A. M. (1939-07). “A new notation for quantum mechanics”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 35 (3): 416–418. doi:10.1017/S0305004100021162.
Dirac, P. A. M. (1947). The principles of quantum mechanics (3rd ed.). Oxford University Press
Dirac, P. A. M. (1967). The principles of quantum mechanics. The international series of monographs on physics (4th (revised) ed.). Oxford University Press
Dirac, P. A. M. 著、朝永振一郎他訳『量子力学』（原著第4版）岩波書店、1968年。
北野, 正雄『量子力学の基礎』共立出版、2010年1月23日。ISBN 978-4-320-03462-4。
北野, 正雄「誤解されているブラケット：共役演算子をめぐって」『日本物理学会誌』第68巻第4号、日本物理学会、2013年4月5日、239-241頁、CRID 1390282763028514816、doi:10.11316/butsuri.68.4_239、hdl:2433/173934、ISSN 0029-0181。
原, 隆 (17 December 2009). "数学者のための量子力学入門" (PDF). www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara. 2023年1月5日閲覧。