順像関手

数学の層論や代数幾何学の分野に現れる順像関手（じゅんぞうかんしゅ、英: direct image functor）とは、層の切断の概念を相対的な場合へ一般化するものである。

定義

f: X → Y をある位相空間の連続写像とし、Sh(–) をある位相空間上のアーベル群の層の圏とする。次の順像関手

$f_{*}:Sh(X)\to Sh(Y)$

は、X 上の層 F をその順像前層（direct image presheaf）

$f_{*}F:U\mapsto F(f^{-1}(U))$

に送る。この前層は Y 上の層であることが分かる。この割り当ては関手的なものである。すなわち、X 上の層の射 φ: F → G は Y 上の層の射 f_∗(φ): f_∗(F) → f_∗(G) を導く。

例

Y が点であるなら、順像関手は大域切断関手と等しくなる。f: X → Y をある位相空間での連続写像あるいはスキームの射とする。このとき例外逆像（exceptional inverse image）は関手 f^!: D(Y) → D(X) である。

応用

同様の定義はエタール層のようなトポスの上の層に対しても適用できる。この場合、上述の原像 f⁻¹(U) の代わりに Y についての U と X のファイバー積が用いられる。

高次順像

順像関手は左完全（left exact）であるが、通常、右完全ではない。したがってその順像の右導来関手を考えることが出来る。それらは高次順像（higher direct images）と呼ばれ、R^q f_∗ と表記される。

高次順像に対しても上述と同様の表現が存在することが分かる。すなわち、X 上のある層 F に対して R^q f_∗(F) は前層

$U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)$

に対応する層となる。

性質

• 順像関手は、逆像関手の右随伴であり、このことは任意の連続な $f:X\to Y$ およびそれぞれ X、Y 上の層である ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ に対して、自然同型

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})$

が存在することを意味する。

• f がある閉部分空間 X ⊂ Y の包含であるなら、f_∗ は完全である。実際、この場合 f_∗ は X 上の層と Y 上の層の間の同値性となり、それは X 上でサポートされる。この事実より、$(f_{*}{\mathcal {F}})_{y}$ の茎（stalk）は、$y\in X$ なら ${\mathcal {F}}_{y}$ で、そうでないならゼロとなる（この証明には Y 内での X の近さが用いられる）。

関連項目

• 固有基底変換定理

参考文献

• Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-16389-3, MR842190 , esp. section II.4

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