閉道 (位相幾何学)

数学の特に位相幾何学における閉道（へいどう、英: closed-path）またはループ (loop) は、始点と終点が等しい道を言う^[1]。閉道の始点かつ終点となる点を基点 (basepoint) と呼ぶ^[2]。

陽に書けば、位相空間 $X$ 内の閉道とは、単位区間 $I ≔ [0, 1]$ から $X$ への連続写像 $f$ で $f (0) = f (1)$ を満たすものである。点付き単位円 $S 1$ は $I$ の $0$ と $1$ を等化して得られる商位相空間と見なせるから、 $X$ 内の閉道を $S 1$ から $X$ への連続写像 $f$ のことと定めてもよい。基点 $x$ を持つ閉道の全体は $Ω x X$ のように書かれる^[3]。 $X$ 内の閉道全体の成す集合は、コンパクト開位相を入れて $X$ のループ空間 $Ω X$ と呼ばれる一つの位相空間を成す^[4]。

やや変更して、適当な実数 $| f | > 0$ に対して閉区間 $[0, | f |]$ を定義域とする連続写像 $f : [0, | f |] \to X; f (0) = f (| f |)$ を $X$ 内のムーアループ (Moore loop) と呼ぶ^[5]^:44。基点を共有するムーアループの全体は道の合成 (concatenation) に関してモノイドを成す^[6]。

複素解析では求長可能な閉道に興味がもたれる。 $X ≔ ℂ$ のとき、閉道 $γ$ に対し、 $γ$ の巻き数 (winding number) $I (γ, z 0)$ が各点 $z 0 \in ℂ ∖ γ ([0, 1])$ で定義される。これは $z 0$ の周りを $γ$ が何周するかを表す整数であり、 $I(\gamma ,z_{0}):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}$ で計算できる。

参考文献

^ Adams 1978, p. 3.
^ Renze, John. "Basepoint". mathworld.wolfram.com (英語).
^ loop space - PlanetMath.（英語）
^ Adams 1978.
^ Stedman, Ched E. (2007), Algebra and Algebraic Topology, Nova Publishers, ISBN 9781600211874
^ loop, 2. Concatenation in nLab

Adams, John Frank (1978), Infinite Loop Spaces, Annals of mathematics studies, 90, Princeton University Press, ISBN 9780691082066 .

外部リンク

Renze, John; Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. "Loop". mathworld.wolfram.com (英語).
loop in nLab
Definition:Loop (Topology) at ProofWiki
Voitsekhovskii, M.I. (2001), “Loop (in topology)”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

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[FOOTNOTEAdams19783-1] Adams 1978, p. 3.

[2] Renze, John. "Basepoint". mathworld.wolfram.com (英語).

[3] loop space - PlanetMath.（英語）

[FOOTNOTEAdams1978-4] Adams 1978.

[5] Stedman, Ched E. (2007), Algebra and Algebraic Topology, Nova Publishers, ISBN 9781600211874

[6] , 2. Concatenation in nLab

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関連項目

参考文献

外部リンク