逆格子ベクトル

逆格子ベクトル（ぎゃくこうしべくとる、Reciprocal lattice vector）とは、物性物理における問題、特に結晶構造の解析やバンド計算等に用いる数学的な概念の一つで、波数の概念の一般化である。

実格子のフーリエ変換

1次元格子点（点列）のフーリエ変換

3次元の実空間中にある無限に続く点列を考える。点間隔を表すベクトルを $\mathbf {a} _{1}$ とすると、

\mathbf {r} =n_{1}\mathbf {a} _{1}\quad (n_{1}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

これをフーリエ変換すると、逆空間（k空間、波数空間、逆格子空間）では次の式で表されような無限に続く平面の列（法線 $\mathbf {a} _{1}$ 、面間隔 $2\pi /|\mathbf {a} _{1}|$ ）になる。

\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}=2\pi m_{1}\quad (m_{1}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

証明

点列を次のような「くし型関数」として表す。

\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1})\quad (n_{1}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

これをフーリエ変換すると、3次元デルタ関数の性質より、

{\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1})\right)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\mathbf {r} &=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }e^{-in_{1}\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}}\\&=2\pi \sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\delta (\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}-2\pi m_{1})\quad (m_{1}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )\end{aligned}}

このデルタ関数の中身が0になる条件式

\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}=2\pi m_{1}\quad (m_{1}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

は無限に続く平面の列を表している。

2次元格子点のフーリエ変換

3次元実空間中にある無限に続く2次元格子点は、次のように表される。

\mathbf {r} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}\quad (n_{1},n_{2}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

これをフーリエ変換すると、波数空間では2次元的に規則正しく並んだ無限に長いロッドになり、次の式で表される。

\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}=2\pi m_{1}

\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{2}=2\pi m_{2}\quad (m_{1},m_{2}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

これを逆格子ロッドと呼び、結晶表面の構造解析でよく用いられる。

証明

2次元格子を、くし型関数を用いて次のように表す。

\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2})\quad (n_{1},n_{2}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

これは上述の点列の畳み込みであることが分かる。つまり畳み込みを記号 $*$ で表すとすると、

\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2})=\left[\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1})\right]*\left[\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{2}\mathbf {a} _{2})\right]\quad (n_{1},n_{2}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

よって上述の点列のフーリエ変換の結果と畳み込みの性質より、2次元格子のフーリエ変換は2つの平面列の積であることがわかる。

\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2})\right)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\mathbf {r}

=(2\pi )^{2}\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}-2\pi m_{1})\delta ^{3}(\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{2}-2\pi m_{2})\quad (m_{1},m_{2}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

2つの平面が重なる部分は直線（無限に長いロッド）になる。よってこれは無限に長いロッドが二次元的に並んだものである。

3次元格子のフーリエ変換

3次元の実空間中の格子点は、次のように表される。

\mathbf {r} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}\quad (n_{1},n_{2},n_{3}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

これをフーリエ変換すると、波数空間では次の式で表される3次元格子点になる。

\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}=2\pi m_{1}

\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{2}=2\pi m_{2}\quad (m_{1},m_{2},m_{3}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{3}=2\pi m_{3}

これを逆格子点と呼ぶ。

証明

3次元格子を、くし型関数を用いて次のように表す。

\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{3}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2}-n_{3}\mathbf {a} _{3})\quad (n_{1},n_{2},n_{3}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

2次元格子の場合と同様に、これも上述の点列の畳み込みで表せる。

\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{3}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2}-n_{3}\mathbf {a} _{3})

=\left[\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1})\right]*\left[\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{2}\mathbf {a} _{2})\right]*\left[\sum _{n_{3}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{3}\mathbf {a} _{3})\right]\quad (n_{1},n_{2},n_{3}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

よって上述の点列のフーリエ変換の結果と畳み込みの性質より、3次元格子のフーリエ変換は3つの平面列の積であることがわかる。

\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{3}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2}-n_{3}\mathbf {a} _{3})\right)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\mathbf {r}

=(2\pi )^{3}\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}-2\pi m_{1})\delta ^{3}(\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{2}-2\pi m_{2})\delta ^{3}(\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{3}-2\pi m_{3})\quad (m_{1},m_{2},m_{3}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )

3つの平面が重なる部分は点になる。よってこれは点が3次元的に無限に並んだものである。