環の直積

数学において、いくつかの環を1つの大きい直積環（ちょくせきかん）、積環 (せきかん、英: product ring) に合併することができる。これは次のようにされる： I がある添え字集合で R_i が I のすべての i に対して環であれば、カルテジアン積 Π_{i ∈ I} R_i は演算を成分ごとの演算として定義することによって環にできる。

得られる環は環 R_i の直積 (英: direct product) と呼ばれる。有限個の環の直積は環の直和 (direct sum) と一致する。

例

重要な例は整数の n を法とした環 Z/nZ である。n が素数のベキの積

$n=p_{1}^{n_{1}}\ p_{2}^{n_{2}}\ \cdots \ p_{k}^{n_{k}}$

ただし p_i は相異なる素数、として書かれていれば（算術の基本定理を見よ）、Z/nZ は自然に直積環

$\mathbf {Z} /p_{1}^{n_{1}}\mathbf {Z} \ \times \ \mathbf {Z} /p_{2}^{n_{2}}\mathbf {Z} \ \times \ \cdots \ \times \ \mathbf {Z} /p_{k}^{n_{k}}\mathbf {Z}$ と同型である。これは中国剰余定理から従う。

性質

R = Π_{i ∈ I} R_i が環の積であれば、すべての i ∈ I に対して、i 番目の座標に積を射影する全射環準同型 p_i: R → R_i がある。射影 p_i とともに積 R は、以下の普遍性をもっている：

S が任意の環で f_i: S → R_i がすべての i ∈ I に対して環準同型であれば、ちょうど1つの環準同型 f: S → R が存在してすべての i ∈ I に対して p_i ∘ f = f_i である。

これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、I が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、I が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 R_i → R は環準同型ではない、なぜならばそれは R_i の単位元を R の単位元に写さないからだ。

各 i ∈ I に対して A_i が R_i のイデアルであれば、A = Π_{i ∈ I} A_i は R のイデアルである。I が有限であれば、逆が正しい、すなわち R のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、I が無限で環 R_i が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は R_i たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。A_i の1つを除くすべてが R_i に等しく残りの A_i が R_i の素イデアルであれば、イデアル A は R の素イデアルである。しかしながら、I が無限のとき逆は正しくない。例えば、R_i の直和はどんなそのような A にも含まれないイデアルをなすが、選択公理によって、a fortiori に素イデアルである極大イデアルに含まれる。

R の元 x が単元であることとその成分のすべてが単元であることは同値である、すなわち p_i(x) がすべての i ∈ I に対して R_i の単元であることは同値である。R の単元群は R_i の単元群の直積である。

1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： x が p_i(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元で y が p_i(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元 (i ≠ j) であれば、積環において xy = 0 である。

参考文献

Herstein, I.N. (2005) [1968], Noncommutative rings (5th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-039-8
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, p. 91, ISBN 978-0-387-95385-4, Zbl 0984.00001, MR1878556

例

性質

参考文献

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