中心 (代数学)

数学の分野である代数学において、多元環や群などの中心 (英: center, 独: Zentrum) は考えている構造の部分集合であって、乗法に関してすべての元と交換する元全体からなる。

群の中心

→詳細は「群の中心」を参照

$G$ を群とすると、その中心は集合

$\mathrm {Z} (G):=\{z\in G\mid \forall g\in G:gz=zg\}$

である。

性質

$G$ の中心は部分群である。なぜならば、$x$ と $y$ を $Z(G)$ の元とすると、任意の $g\in G$ に対して、

$(xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)$

なので、$xy$ も中心に入る。同様にして、$x^{-1}$ も中心に入る。

$x^{-1}g=(g^{-1}x)^{-1}=(xg^{-1})^{-1}=gx^{-1}$.

群の単位元 $e$ は常に中心に入る。$eg=g=ge$.

中心はアーベル群で $G$ の正規部分群である。$G$ の特性部分群でもある、つまりすべての自己同型で不変である。中心は強特性 (strictly characteristic) でさえある、つまりすべての全射自己準同型で不変である。$G$ がアーベル群であることと $Z(G)=G$ は同値である。

中心はちょうど、$z$ による共役、すなわち $\left(g\mapsto z^{-1}gz\right)$ が恒等写像であるような、$G$ の元 $z$ からなる。したがって中心を中心化群の特別な場合としても定義できる。$C_{G}(G)=Z(G)$ である。

例

• 3次対称群 $S_{3}=\left\{\mathrm {id} ,(1\;2),(1\;3),(2\;3),(1\;2\;3),(1\;3\;2)\right\}$ の中心は単位元 $\mathrm {id}$ のみからなる、なぜならば：

$(1\;2)(1\;3)=(1\;3\;2)\neq (1\;3)(1\;2)=(1\;2\;3)$

$(1\;2)(2\;3)=(1\;2\;3)\neq (2\;3)(1\;2)=(1\;3\;2)$

$(1\;2\;3)(1\;2)=(1\;3)\neq (1\;2)(1\;2\;3)=(2\;3)$

$(1\;3\;2)(1\;2)=(2\;3)\neq (1\;2)(1\;3\;2)=(1\;3)$

• 二面体群 $D_{4}$ は正方形が全く動かないような平面の動きからなる。それは正方形の中心を中心とする角度 0°, 90°, 180°, 270°の回転と、2つの対角線および正方形の平行する辺の中点を通る2つの直線による4つの鏡映からなる。この群の中心はちょうど 0°と 180°の2つの回転からなる。
• 実数を成分に持つ可逆 n×n-行列の乗法群の中心は単位行列の（0 でない）実数倍からなる。

環の中心

環 R の中心は環の元であってすべての元と交換するものからなる。

$\mathrm {Z} (R)=\{z\in R\mid za=az\ {\text{for all}}\ a\in R\}.$

中心 $Z(R)$ は R の可換な部分環である。環が中心と等しいことと可換であることは同値である。

結合多元環の中心

結合多元環 A の中心は可換な部分多元環

$\mathrm {Z} (A)=\{z\in A\mid za=az\ {\text{for all}}\ a\in A\}$

である。多元環がその中心と等しいことと可換であることは同値である。

リー代数の中心

定義

リー代数 ${\mathfrak {g}}$ の中心は（可換な）イデアル

${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})=\{z\in {\mathfrak {g}}\mid [x,z]=0\ {\text{for all}}\ x\in {\mathfrak {g}}\}$

である。ただし $[\cdot ,\cdot ]$ はブラケット積、つまり ${\mathfrak {g}}$ の積を表す。リー代数がその中心に等しいことと可換であることは同値である。

例

• 一般線型群 $\mathrm {GL} (n,K)$ の中心は単位行列 $E_{n}$ のスカラー倍からなる。

$Z\left(\mathrm {GL} (n,K)\right)=\{\lambda E_{n}\colon \lambda \in K^{*}\}$.

• 交換子をブラケット積とする結合多元環に対して2つの中心の概念は一致する。

参考文献

• Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 36

外部リンク

• Centre of a group (Encyclopaedia of Mathematics)
• Centre of a ring (Encyclopaedia of Mathematics)
• Zentrum in verschiedenen algebraischen Strukturen (PlanetMath)