2の補数

2の補数（にのほすう、（英: two's complement）は、2 を位取り記数法の基数とした場合の基数の補数である。すなわち、整数 x との和が基数 2 の冪 2ⁿ となる数 x_c = 2ⁿ − x のことをいう（例：2⁴ = 16 について、5 に対応する2の補数は 11 = 16 − 5）。

数 x とその2の補数 x_c を二進法で表せば、2の補数 x_c は x との和が n + 1 桁に繰り上がる最小の数といえる（例：2⁴ = 10000₂ = (1111 + 1)₂ について、5₁₀ = 0101₂ に対応する2の補数は 11₁₀ = 1011₂ = (1111 − 0101 + 1)₂）。

2の補数を得る手順は、基数の補数および減基数の補数の定義から、1の補数に 1 を足す操作となる。1の補数は二進表示された数の各位の値（ビット）を 0 から 1、また 1 から 0 に置き換える操作（ビット反転）によって得られるため（例：0101 → 1010）、2の補数はしばしば元の数にビット反転して1を足したものとして定義される。

ある数の2の補数を反数と見なせば、二進法において決まった桁数を持った数をそれぞれ非負の数と負の数に対応づけられる（#負の数の表現）。 特に n 桁の二進数について 0 から 2ⁿ⁻¹ − 1（例：n = 8 なら 0 から 127）の範囲で符号なし表現と一致させたものは2の補数表現（にのほすうひょうげん）と呼ばれる。

2の補数表現はコンピュータの分野において、固定長の符号付きの整数型や固定小数点数の表現に利用されている。

計算例

補数であることの確認

例えば、4桁の二進数 0010₂ (= 2) に対する2の補数は 1110₂ である。実際、これらを足し算は以下のようになる：

$${\begin{array}{lrrrrr}&&0&0&1&0\\{}+{}&&1&1&1&0\\\hline &{\cancel {1}}&0&0&0&0\end{array}}$$

結果は 10000₂ = 2⁴ = 16 になっており、1110₂ が 0010₂ の 10000₂ に対する補数になっていることが確かめられる。また5桁目以降を無視し下4桁だけ取り出せば、結果は 0000₂ となる。つまり、0010₂ にその2の補数 1110₂ を足すということは 0010 から 0010 自身を引くということと同じ意味を持つ。言い換えれば、 1110₂ は負数 −2 を表している。

引き算と補数の足し算の比較

例えば、二進数 0101₂ (= 5) から二進数 0011₂ (= 3) を引く場合、以下のように計算できる：

$${\begin{array}{lrrrrr}&&0&1&0&1\\{}-{}&&0&0&1&1\\\hline &&0&0&1&0\end{array}}$$

一方、二進数 0011₂ の2の補数 1101₂ を足す計算は、以下のようになる：

$${\begin{array}{lrrrrr}&&0&1&0&1\\{}+{}&&1&1&0&1\\\hline &{\cancel {1}}&0&0&1&0\end{array}}$$

5桁目以降を無視し、下4桁を取り出せばこちらも結果は 0010₂ (= 2) になり、引き算の場合と一致する。また、1101₂ は負数 −3 を表していることが分かる。

負の数の表現

2の補数を用いて、二進法で表された数（二進数）を負の整数に対応づけられる。2の補数の定義より、n 桁の二進数 x とその補数 x_c は以下の関係を満たす：

$$x+x_{\mathrm {c} }=2^{n}\quad (\iff x_{\mathrm {c} }=2^{n}-x)\,.$$

冪 2ⁿ の倍数を 0 と同一視すれば、上記の補数の関係は 2ⁿ を法とする合同式に置き換えられる：

$$x+x_{\mathrm {c} }\equiv 0{\pmod {2^{n}}}\,.$$

これは x の補数 x_c を x の反数 −x と見なすことを意味する。すなわち、数 y から x を引く操作は、数 y と補数 x_c のたし算に置き換えられる：

$$y-x\equiv y+2^{n}-x\equiv y+x_{\mathrm {c} }{\pmod {2^{n}}}\,.$$

同様に反数 −x のかけ算は補数の積に置き換えられる：

$$y\cdot (-x)\equiv y\cdot 2^{n}+y\cdot (-x)\equiv y\cdot x_{\mathrm {c} }{\pmod {2^{n}}}\,.$$

2の補数表現

#負の数の表現節の方法で負の数の計算を行えるが、具体的な数値計算を行うには、どの二進数がどの負の数を表すかという対応関係を定義しなければならない。0 から 2ⁿ⁻¹ − 1 までの非負整数をそのまま通常の位取り記数法における二進表示、

$${\begin{aligned}0&\mapsto 0_{2},\\1&\mapsto 1_{2},\\2&\mapsto {10}_{2},\\&\;\;\vdots \\2^{n-1}-2&\mapsto {011\cdots 10}_{2},\\2^{n-1}-1&\mapsto \underbrace {011\cdots 11} _{n{\text{桁}}}{}_{2}\end{aligned}}$$

に対応づければ、これらの数の補数として負の整数に対する2の補数表現が得られる：

$${\begin{alignedat}{2}2^{n-1}&\equiv -2^{n-1}&&\mapsto {100\cdots 00}_{2},\\2^{n-1}+1&\equiv 1-2^{n-1}&&\mapsto {100\cdots 01}_{2},\\&\;\;\vdots &&\;\;\vdots \\2^{n}-2&\equiv -2&&\mapsto {111\cdots 10}_{2},\\2^{n}-1&\equiv -1&&\mapsto {111\cdots 11}_{2}\,.\end{alignedat}}$$

具体例として、n = 4 桁の二進数における対応表を示す：

2⁴ についての2の補数表現における、二進数と対応する整数の一覧

対応する整数	二進数	対応する整数	二進数
0	00002	-	-
1	00012	−1	11112
2	00102	−2	11102
3	00112	−3	11012
4	01002	−4	11002
5	01012	−5	10112
6	01102	−6	10102
7	01112	−7	10012
-	-	−8	10002

結局、n 桁の二進数の k + 1 桁目の値を b_k ∈ {0, 1} とすれば、2の補数表現は以下のように表せる：

$${b_{n-1}b_{n-2}\cdots b_{1}b_{0}}_{(2)}\mapsto -b_{n-1}\cdot 2^{n-1}+\sum _{k=0}^{n-2}{b_{k}\cdot 2^{k}}\,.$$

また、上記の数の補数は以下のように表せる：

$$\left({b_{n-1}b_{n-2}\cdots b_{1}b_{0}}_{(2)}\right)_{\mathrm {c} }\mapsto 1-(1-b_{n-1})\cdot 2^{n-1}+\sum _{k=0}^{n-2}{(1-b_{k})\cdot 2^{k}}\,.$$

等比数列の和 ${\textstyle \sum _{k=0}^{n-2}2^{k}={\tfrac {2^{n-1}-1}{2-1}}=2^{n-1}-1}$ を用いれば、上記の補数は以下のようにも表せる：

$$\left({b_{n-1}b_{n-2}\cdots b_{1}b_{0}}_{(2)}\right)_{\mathrm {c} }\mapsto b_{n-1}\cdot 2^{n-1}-\sum _{k=0}^{n-2}{b_{k}\cdot 2^{k}}\,.$$

これは結局、元の数に負符号を付けた形となっている（ただし元の数が −2ⁿ⁻¹ の場合は算術オーバーフローが発生する。オーバーフローをチェックせずラップアラウンドする場合、−2ⁿ⁻¹ 自身へ写る）。

2の補数表現の性質

2の補数で表される数は、対応する二進数表示の最上位の値 b_n−1 が 0 なら非負の値を取り、1 なら負の値を取る。すなわち、負値か非負値かの判定は二進数の最上位の桁を見るだけでできる。

2の補数表現において、−1 は常にすべての位の値が 1 の二進数 111...11₂ に対応づけられる。従って、数をビット列とみなせば、ビット列 x とそのビットを反転させた ^fx は常に以下を満たす：

$x+{}^{\mathrm {f} }x\equiv -1\,.$

上記より、x の2の補数は x_c = ^fx + 1 と表せる。従って減法は、

$y-x\equiv y+{}^{\mathrm {f} }x+1$

と書き換えられる。

x の n 桁の二進数表示の下位 m 桁がすべて 0 だった場合、桁上りによって下位 m 桁が反転するため、その2の補数 ^fx + 1 の下位 m 桁も 0 となり、m + 1 桁目まで一致する。また2の補数の上位 n − (m + 1) 桁は、桁上りが生じないため、ビット反転 ^fx の上位 n − (m + 1) に一致する。例えば x = 0100₂ のビット反転は ^fx = 1011₂ であり、2の補数は ^fx + 1 = 1100₂ となる。同様に、1000₂ および 0000₂ のビット反転はそれぞれ 0111₂, 1111₂ であり、2の補数はそれぞれ 1000₂, 0000₂ となる。

参考文献

• 日本規格協会、情報処理学会 編『JIS X 0005:2002 情報処理用語（データの表現）』日本規格協会、2002年8月31日。 
• ISO; IEC, eds (2015-05). ISO/IEC 2382:2015 Information technology — Vocabulary. ISO/IEC 
• 水谷, 正大. "数の補数表現 ― コンピュータは数値をどのように保持しているのか？" (PDF). www.edu.tuis.ac.jp/~mackin. 2023年5月11日閲覧。
• 西村, 進. "基礎情報処理 ― 論理（スイッチング）回路と計算" (PDF). www.math.kyoto-u.ac.jp/~susumu. 2023年5月11日閲覧。
• 中野, 伸 (1 April 2022). "代数入門" (PDF). pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin. 2023年5月11日閲覧。
• Seacord, Robert. "INT32-C. Ensure that operations on signed integers do not result in overflow". wiki.sei.cmu.edu. 2023年5月13日閲覧。
• "Chapter 4. Types, Values, and Variables ― Java Language Specification". docs.oracle.com/javase/specs/jls/. Oracle. 3 March 2023. 2023年5月13日閲覧。
• "Class Math ― Java SE 20 & JDK 20". docs.oracle.com/en/java/javase/20/docs/api/. Oracle. 2023年5月13日閲覧。

関連項目

• 符号付数値表現
• コンピュータの数値表現
• 補数
• 1の補数