幾何学基礎論

幾何学基礎論（きかがくきそろん、英: foundation of geometry、独: Grundlagen der Geometrie）は、ユークリッド幾何学の公理系に関する研究である。

概論

平行線公準の問題より非ユークリッド幾何学が生まれたが、それは同時にユークリッド幾何学の厳密性にも疑問が投げかけられることでもあった。無矛盾な幾何学を作るにはどのような公理系が必要であるか、更にそれらの公理系から構成される幾何学はどのような構造を持つか、それらの複数の異なる公理系の幾何学の体系間の関係はどうなっているのかという疑問を解決すべく幾何学基礎論の研究が進められてゆくこととなる。

同時期にはラッセルのパラドックスにみられるように集合論でも似たような問題が起こり、数学の基礎そのものに疑問が持たれる時代であったが、ヒルベルトは形式主義に基づく方法によって、これらの問題を解決すべくヒルベルトの公理系を考案した。彼の著した『幾何学基礎論』はユークリッド幾何学の公理系を最も厳密に吟味した著作としても有名である。

また更に現代的なものとしてタルスキの公理系がある。"Metamathematische Methoden in der Geometrie"でその詳細を確認できる。ほかワイルの公理系、バーコフの公理系、マックレーンの公理系もある。SMSGの公理系はアメリカではよく知られていた公理系である。

現在

日本で幾何学基礎論の新刊が大学の新入生向けに出版され続けるということはないが、多くの学科入学条件において幾何の履修を必修とさせるアメリカ合衆国では事情は異なっている。VenemaのFoundations of Geometryは英語圏で教科書として使用されている。

参考文献

• 足立恒雄『よみがえる非ユークリッド幾何』日本評論社、2019年8月。ISBN 978-4-535-78879-4。 
• ヒルベルト『幾何学原理』林鶴一・小野藤太 訳、大倉書店〈数学叢書 第15編〉、1913年。NDLJP:933915。  - 原タイトル：Grundlagen der Geometrie。原書第4版の邦訳。
• D・ヒルベルト『幾何学基礎論』中村幸四郎 訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫Math&Science〉、2005年12月。ISBN 978-4-480-08953-3。  - 1930年に出版された原書第7版の邦訳。
• D・ヒルベルト『ヒルベルト 幾何学の基礎 クライン エルランゲン・プログラム』寺阪英孝・大西正男 訳・正田建次郎 解説・吉田洋一 監修、共立出版〈現代数学の系譜 第7巻〉、1970年6月。ISBN 978-4-320-01160-1。  - クラインのエランゲンプログラムの日本語訳と合本。原書第7版の邦訳。

関連項目

• 公理
• 数学基礎論
• ダフィット・ヒルベルト
• 非ユークリッド幾何学
• ヒルベルトの公理系
• ユークリッド幾何学

外部リンク

• 『幾何学基礎論』 - コトバンク
• 幾何学基礎の英訳のTeX、PDF版 (無料)