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（普遍）包絡代数（フヘンホウラクダイスウ、英: universal enveloping algebra, 仏: algèbre enveloppante）アルイハ（普遍）展開代数トハ、任意ノりぃ代数 ${\mathfrak {g}}$ から構成サレル、アル性質ヲ満タス単位的結合代数 $U({\mathfrak {g}})$ ト準同型写像 $i\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ ノ組 $(U({\mathfrak {g}}),i)$ ノコトヲイウ。

定義

${\mathfrak {g}}$ ヲ任意ノりぃ代数トスル。コノトキ以下ノ普遍性質ヲ満タス結合代数 A トりぃ代数ノ準同型写像 $i:{\mathfrak {g}}\to A$ ノ組 $(A,i)$ ガ存在スル（A ハ交換子積ニヨツテりぃ代数トミル）。任意ノ結合代数 $A'$ トりぃ代数準同型写像 $i'\colon {\mathfrak {g}}\to A'$ ニ対シ、結合代数ノ準同型写像 $f\colon A\to A'$ デ、 $f\circ i=i'$ ヲ満タスモノガ唯一ツ存在スル。コノヨウナ $(A,i)$ ハ同型ヲ除イテ一意的ニ存在シ、普遍包絡代数トイイ、A ヲ $U({\mathfrak {g}})$ デ表ス:

構成

${\mathfrak {g}}$ ヲりぃ代数、 $T({\mathfrak {g}})$ ヲソノべくとる空間トシテノてんそる代数トスル。マタ、 ${\mathcal {I}}$ ヲ $x\otimes y-y\otimes x-[x,y]\quad (x,y\in {\mathfrak {g}})$ ガ生成スル両側いであるトスル。コレニヨツテ

U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/{\mathcal {I}}

トスル。自然ナ写像 $T({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})$ ヲ ${\mathfrak {g}}$ ニ制限シテ $i\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ ガ定マリ、 $(U({\mathfrak {g}}),i)$ ハ普遍包絡代数ニナル。

脚注

参考文献

Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. 9. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7

外部りんく

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 {{出典の明記|date=2014年5月}}
-（'''普遍'''）'''包絡代数'''（ふへんほうらくだいすう、{{lang-en-short|universal enveloping algebra}}, {{lang-fr-short|algèbre enveloppante}}）あるいは（'''普遍'''）'''展開代数'''とは、任意の[[リー代数]] <math>\mathfrak{g}</math> から構成される、ある性質を満たす単位的[[結合多元環|結合代数]] <math>U(\mathfrak{g})</math> と準同型写像 <math>i\colon\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})</math>  の組 <math>(U(\mathfrak{g}), i)</math> のことをいう。
+（'''普遍'''）'''包絡代数'''（フヘンホウラクダイスウ、{{lang-en-short|universal enveloping algebra}}, {{lang-fr-short|algèbre enveloppante}}）アルイハ（'''普遍'''）'''展開代数'''トハ、任意ノ[[リー代数|りぃ代数]] <math>\mathfrak{g}</math> から構成サレル、アル性質ヲ満タス単位的[[結合多元環|結合代数]] <math>U(\mathfrak{g})</math> ト準同型写像 <math>i\colon\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})</math>  ノ組 <math>(U(\mathfrak{g}), i)</math> ノコトヲイウ。
 == 定義 ==
-<math>\mathfrak{g}</math> を任意の[[リー代数]]とする。このとき以下の普遍性質を満たす[[結合多元環|結合代数]] ''A'' とリー代数の準同型写像 <math>i: \mathfrak{g} \to A</math> の組 <math>(A, i)</math> が存在する（''A'' は交換子積によってリー代数とみる）。任意の結合代数 <math>A'</math> とリー代数準同型写像 <math>i'\colon \mathfrak{g} \to A'</math> に対し、結合代数の準同型写像 <math>f\colon A \to A'</math> で、<math>f \circ i=i'</math> を満たすものが唯一つ存在する。このような <math>(A, i)</math> は同型を除いて一意的に存在し、'''普遍包絡代数'''といい、''A'' を <math>U(\mathfrak{g})</math> で表す:
+<math>\mathfrak{g}</math> ヲ任意ノ[[リー代数|りぃ代数]]トスル。コノトキ以下ノ普遍性質ヲ満タス[[結合多元環|結合代数]] ''A'' トりぃ代数ノ準同型写像 <math>i: \mathfrak{g} \to A</math> ノ組 <math>(A, i)</math> ガ存在スル（''A'' ハ交換子積ニヨツテりぃ代数トミル）。任意ノ結合代数 <math>A'</math> トりぃ代数準同型写像 <math>i'\colon \mathfrak{g} \to A'</math> ニ対シ、結合代数ノ準同型写像 <math>f\colon A \to A'</math> デ、<math>f \circ i=i'</math> ヲ満タスモノガ唯一ツ存在スル。コノヨウナ <math>(A, i)</math> ハ同型ヲ除イテ一意的ニ存在シ、'''普遍包絡代数'''トイイ、''A'' ヲ <math>U(\mathfrak{g})</math> デ表ス:
 == 構成 ==
-<math>\mathfrak{g}</math> を[[リー代数]]、<math>T(\mathfrak{g})</math> をそのベクトル空間としての[[テンソル代数]]とする。また、<math>\mathcal{I}</math> を <math>x \otimes y - y \otimes x - [x, y]\quad(x, y \in \mathfrak{g})</math> が生成する両側[[イデアル]]とする。これによって
+<math>\mathfrak{g}</math> ヲ[[リー代数|りぃ代数]]、<math>T(\mathfrak{g})</math> ヲソノべくとる空間トシテノ[[テンソル代数|てんそる代数]]トスル。マタ、<math>\mathcal{I}</math> ヲ <math>x \otimes y - y \otimes x - [x, y]\quad(x, y \in \mathfrak{g})</math> ガ生成スル両側[[イデアル|いである]]トスル。コレニヨツテ
 :<math>U(\mathfrak{g})=T(\mathfrak{g})/\mathcal{I}</math>
-とする。自然な写像 <math>T(\mathfrak{g}) \to U(\mathfrak{g})</math> を <math>\mathfrak{g}</math> に制限して <math>i\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})</math> が定まり、<math>(U(\mathfrak{g}), i)</math> は普遍包絡代数になる。
+トスル。自然ナ写像 <math>T(\mathfrak{g}) \to U(\mathfrak{g})</math> ヲ <math>\mathfrak{g}</math> ニ制限シテ <math>i\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})</math> ガ定マリ、<math>(U(\mathfrak{g}), i)</math> ハ普遍包絡代数ニナル。
 ==関連項目==
-*{{仮リンク|Poincaré–Birkhoff–Wittの定理|en|Poincaré–Birkhoff–Witt theorem}}
+*{{仮リンク|Poincaré–Birkhoff–Wittノ定理|en|Poincaré–Birkhoff–Witt theorem}}
 ==脚注==
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 }}
-== 外部リンク ==
+== 外部りんく ==
 * {{nlab|urlname=universal+enveloping+algebra|title=universal enveloping algebra}}
 * {{PlanetMath|urlname=UniversalEnvelopingAlgebra|title=universal enveloping algebra}}