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2024年1月28日 (日) 14:51時点における最新版

代数幾何学では、双有理幾何学(birational geometry)の目標は、2つの代数多様体が（多様体の次元）より低い次元の部分を除き、どのようなときに同型となるかを決定することである。このことは、多項式というよりも、有理函数により与えられる写像を研究することを意味し、有理函数が極を持つところでは(写像を）定義できないことがある。

双有理写像

ある（既約(irreducible)な）代数多様体 X から別の多様体 Y への有理写像（英語版）は、ダッシュ付矢印で $X\;-\!\!\to Y$ と書かれ、X の空ではない開集合 U から Y への射（英語版）(morphism)として定義される。代数幾何学で使用されるザリスキ位相の定義により、空ではない開部分集合 U は常に X の低い次元の部分集合の補集合である。具体的には、有理写像は有理函数を使って座標で記述することができる。

X から Y への双有理写像(birational map)は、有理写像 $f\colon X\;-\!\!\to Y$ であり、f の逆写像 $Y\;-\!\!\to X$ も有理写像である写像を言う。双有理写像は、X の空でない開集合から Y の空でない開集合への同型をひき起こす。このとき、X と Y は 双有理(birational) もしくは 双有理同値(birationally equivalent)と言う。代数的なことばでは、体 k 上の2つの多様体が双有理とは、それらの代数多様体の函数体が k の拡大体として同型であることと同値である。

特別な場合として、双有理写像 f: X → Y が代数多様体の射(morphism)となる場合がある。すなわち、f が全ての領域の上で定義されているが、逆が必ずしも全ての領域で定義されていない場合である。典型的には、双有理写像が X の部分多様体を Y の点へ縮めることがあるからである。

多様体 X が有理的とは、ある次元のアフィン空間（もしくは、同じことであるが、射影空間）と双有理的である場合を言う。有理性は、非常に自然な性質であって、X からより低い次元の部分集合を引いたものが、アフィン空間からあるより低い次元の部分集合を引いたものと同一視できることを意味する。

例えば、次の方程式を持つ円を考える。 x² + y² − 1 = 0 この円は、有理曲線である。というのは、式

x={\frac {2\,t}{1+t^{2}}}

と

y={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,,

は、アフィン直線から円への双有理写像を定義するからである。逆写像は、(x, y) を (1 − y) / x へ写す。

さらに一般的には、任意次元の滑らかな二次（次数 2）の超曲面 X は、立体射影により有理的である。（体 k 上で 2次的な X に対し、X はk-有理点を持っている。k が代数的閉体であれば、自動的にそのようになる。）立体射影を定義するために、p を X の点とすると、X の中の点 q を p と q を通る力線へ写像することにより、X から p を通る直線の射影空間 Pⁿ への双有理写像を定義する。これは双有理写像であるが、しかし多様体の同型ではない。なぜならば、q = p では定義できないからである（そして、逆写像も X に含まれる p を通るこれらの直線を定義することができない）。

極小モデルと特異点の解消

全ての代数多様体は射影多様体に双有理であるので、双有理分類の目的のためには、射影多様体のみに専念すれば良く、このことは普通は最も便利な設定である。

広中平祐の1964年の特異点解消定理は非常に深く、（複素数のような）標数が 0 の体の上の全ての多様体は、滑らかな射影多様体に双有理的である。このことが与えられると、滑らかな射影多様体を双有理同値を除外して分類することに集中することができる。

次元 1 では、2つの滑らかな射影曲線が双有理であれば、それらは同型である。しかし少なくとも次元が 2 でこのことはブローアップ(en:blowing up)の構成により成立しない。ブローアップにより、少なくとも次元 2 の全ての滑らかな射影多様体は、例えば、より大きなベッチ数を持つ、無限に多くの「より大きな」多様体に双有理同値である。

このことは、極小モデルの考え方を導く。各々の双有理同値類の中に一意に最も小さい代数多様体を見つけることは可能か？現代の定義は、射影的多様体 X が極小とは、標準ラインバンドル K_X が X のすべての曲線で非負な次数を持つことである。言い換えると、K_X はネフ（数値的正という意味だが、通常使用しているので、本文ではネフという用語を使用する。）^[1]である。ブローアップした多様体が決して極小ではありえないことは、容易にチェックできる。

この考え方は、代数曲線（次元が 2 の多様体）に対しては完全に成り立つ。現代のことばでは、1890年から1910年までの代数幾何学のイタリア学派（英語版）の一つの中心的な結果は、曲面の分類の一部とあわせ、すべての曲面 X は、ある曲線 C が存在して積 P¹ × C か、もしくは極小曲面 Y のどちらかに双有理同値である。^[2] 2つの場合は互いに排他的であり、Y は存在するとしたら一意である。Y が存在すると、X の極小モデルと呼ばれる。

双有理不変量

→詳細は「小平次元」を参照

→「双有理不変量」も参照

まず、どのようにして有理的でない代数多様体が存在するかを示す方法が明らかではない。これを証明するためには、代数多様体の何らかの双有理不変量を作ることが必要である。

双有理不変量の有益な双有理不変量の一つは多重種数である。次元 n の滑らかな代数多様体 X の標準バンドルは、n-形式のラインバンドルを意味する。

\,\!K_{X}=\Omega _{X}^{n},

これは、X の余接バンドルの n 番目の外積である。整数 d に対し、K_X の d 番目のテンソル積は、再びラインバンドルとなる。d ≥ 0 に対し、大域的切断のベクトル空間 H⁰(X,K_X^d) は、滑らかな射影多様体の間の双有理写像 f: X – → Y は同型 H⁰(X,K_X^d) ≅ H⁰(Y,K_Y^d) を導くという注目すべき性質を持っている。^[3]

d ≥ 0 に対し、d 番目の多重種数 P_d をベクトル空間 H⁰(X,K_X^d) の次元として定義すると、多重種数は滑らかな射影多様体に対する双有理不変量である。特に、d > 0 について多重種数 P_d がゼロでないならば、X は有理的ではない。

基本的な双有理不変量が小平次元で、d が無限大となるときの多重種数 P_d の増加する大きさを測る量である。小平次元は、次元 n のすべての多様体を、小平次元 -∞, 0, 1, ..., n として n+1 個のタイプに分類する。このタイプは多様体の複雑さを測るものであり、射影空間は小平次元 -∞ をとなる。もっと複雑な多様体は小平次元が、普通の次元 n に等しいときであり、一般型の多様体と呼ばれる。

さらに一般的に、r ≥ 0 に対しての余接バンドル Ω¹ の r 番目のテンソル積の自然な和 E(Ω¹) について、大域的切断のベクトル空間 H⁰(X,E(Ω¹)) は滑らかな射影多様体の双有理不変量である。

特に、ホッジ数 h^r0 = dim H⁰(X,Ω^r) は X の双有理不変量である。（ほとんどのほかのホッジ数 h^pq は、以下でみるように、双有理不変量ではない。）

基本群 π₁(X) は滑らかな複素射影多様体の双有理不変量である。

2002年にAbramovich, Karu, Matsuki, と Włodarczyk (2002) により証明された「弱分解定理」は、2つの滑らかな複素射影多様体の間の任意の双有理写像は、滑らかな多様体への有限個のブローアップとブローダウンに分解することができる。しかし、これが2つの滑らかな射影多様体が双有理であるかどうかを判定することは極めて難しいことを知っておくことが大切である。

より高次元の極小モデル

→詳細は「極小モデル」を参照

射影多様体 X が極小とは、標準バンドル K_X がネフ（英語版）であることを言う。2次元の多様体 X に対し、この定義を滑らかな多様体に対して考えることで充分である。

少なくとも次元が 3 の場合には、K_X がうまく振舞うようなあるマイルドな特異点を持つ極小多様体を持つはずである。これらの（特異点のこと）を標準特異点(canonical singularities)という。

すべての多様体 X は有理曲線(rational curve)で被覆されるか、もしくは極小多様体 Y に双有理同値であるろうということを、極小モデル予想と言う。Y が存在するときに、Y を X の 極小モデル という。

極小モデルは少なくとも 3 次元では一意に定まらないが、任意の双有理である 2つの極小多様体は非常に近い存在である。例えば、極小モデルは、少なくとも余次元が 2 の部分集合の外側で同型で、さらに詳しくはフロップ(flops)の列によって関連している。従って、極小モデル予想は、代数多様体の双有理分類について強い情報を与えていることになる。

予想は次元が 3 の場合には、Mori (1988) で証明された。一般次元の問題としては未解決であるが、大きな前進があった。特に、Birkar, Cascini, Hacon と McKernan (2010) は、標数が 0 の体の上の一般型の代数多様体はすべて極小モデルを持つことを証明した。

単線織多様体

→詳細は「単線織多様体」を参照

多様体が単線織的(uniruled)とは、多様体が有理曲線により被覆されるときを言う。単線織多様体は極小モデルを持たないが、しかし、素晴らしい代替品がある。バーカー(Birkar)、カッシーニ(Cascini)、ハーコン(Hacon)、マッカナン(McKernan)は、全ての標数 0 の体の上の単線織多様体はファノファイバー空間に双有理であることを示した。^[4] このことからファノファイバー空間と（最も興味のある空間である）ファノ多様体の双有理分類問題が導かれる。定義により、射影多様体 X がファノ多様体とは、反標準バンドル K_X^* が豊富であることであり、ファノ多様体は射影空間に最も似ている代数多様体であると考えることができる。

次元が 2 のとき、代数的閉体上のすべてのファノ多様体（デル・ペッゾ曲面（英語版）として知られている）は有理的である。1970年代の大きな発見は、次元 3 のときで、有理的な多くのファノ多様体があることがわかった。特に、滑らかな 3次3次元多様体はClemens-Griffiths (1972)により有理的でないことが示され、滑らかな 4次元3次元多様体も Iskovskikh-Manin (1971)により有理的ではないことが示された。

にもかかわらず、ファノ多様体が有理的であることを正確に決定する問題は、解決には程遠い。例えば、n ≥ 4 のときには Pⁿ⁺¹ の中の有理的でない滑らかな 3次超曲面が存在するかどうかがわかっていない。

双有理自己同型群

代数多様体は、それらがどれくらい多くの双有理自己同型を持っているかに大きな幅がある。一般型のすべての多様体は、双有理自己同型群は有限群であるという意味で、極度に剛性を持っている。反対の例は、体 k 上の射影空間 Pⁿ の自己同型群は、クレモナ群（英語版） Cr_n(k) として知られているが、n ≥ 2 に対しては大きい（ある意味では無限次元である）。n = 2 に対しては、少なくとも複素クレモナ群 Cr₂(C) は、 P² の自己同型である群 PGL(3,C) とともに、次の「二次変換」により生成される。

[x,y,z] ↦ [1/x, 1/y, 1/z]

このことはマックス・ネター（英語版）(Max Noether)とグイド・カステルヌオボー（英語版）(Guido_Castelnuovo)により指摘された。対照的に、次元 n ≥ 3 のときのクレモナ群は非常にミステリアスで、明らかな生成しか知られていない。

Iskovskikh-Manin (1971)は、滑らかな4次3次元多様体の双有理自己同型群が、有限である自己同型群に等しいことを示した。この意味で、4次3次元多様体は有理多様体とは遠い存在である。なぜならば、有理多様体の双有理自己同型群は巨大であるからだ。この「双有理剛性」とでもいうべき現象は、多くのファノファイバー空間の多くに発見されている。

脚注

^ ネフ：すべての曲線 C ⊂ X に対して (L.C)≧0 が成り立つようなラインバンドル　L のこと数値的正(ネフ）という、標準バンドル K_X がネフであるような代数多様体のことを極小と呼ぶ。繰り返しになるが、代数多様体上のラインバンドルは、多様体の任意の代数曲線への制限の次数が非負のときに、ネフ(nef)("numerically effective" もしくは "numerically eventually free" を短くした)と呼ばれる。特にすべての豊富なラインバンドル(ample line bundle)はネフである。同様に、代数多様体 X 上のカルティエ因子 D な次が成り立てば、ネフである。X の中に含まれる任意の代数曲線 C に対して、交点理論の意味で、
$D\cdot C\geq 0\,$
であることネフの別の定義は、交差数内積 M を持つ（従って $x\cdot y=y^{T}Mx$ である）の内積空間 V の観点から（そうすると $x\cdot y=y^{T}Mx$ となる）、ベクトル w がネフとは、すべての有効な y に対して $w\cdot y\geq 0$ となることを言う。そこでは有効(effective)とは基底ベクトルの非付線型結合として書くことができることを意味する。
^ Kollár and Mori, Birational Geometry of Algebraic Varieties (1998), Theorem 1.29.
^ Hartshorne, Algebraic Geometry (1977), Exercise II.8.8.
^ Birkar, Cascini, Hacon, and McKernan. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), 405-468. Corollary 1.3.3 は、全ての単線織多様体はファノファイバー空間に双有理であることを、単線織多様体 X が次数が負である K_X を持つ曲線の族により被覆されるという簡単な結果を使い示した。後者の参考としてDebarre, Higher-Dimensional Algebraic Geometry (2001), Corollary 4.11 および Example 4.7(1) を参照。

参照項目

参考文献

Abramovich, Dan; Karu, Kalle; Matsuki, Kenji; Włodarczyk, Jarosław (2002), “Torification and factorization of birational maps”, Journal of the American Mathematical Society 15 (3): 531–572, doi:10.1090/S0894-0347-02-00396-X, MR 1896232
Birkar, Caucher; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D.; McKernan, James (2010), “Existence of minimal models for varieties of log general type”, Journal of the American Mathematical Society 23 (2): 405–468, arXiv:math.AG/0610203, doi:10.1090/S0894-0347-09-00649-3, MR2601039
Clemens, C. Herbert; Griffiths, Phillip A. (1972), “The intermediate Jacobian of the cubic threefold”, Annals of Mathematics. Second Series (The Annals of Mathematics, Vol. 95, No. 2) 95 (2): 281.356, doi:10.2307/1970801, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970801, MR0302652, https://jstor.org/stable/1970801
Debarre, Olivier (2001). Higher-Dimensional Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95227-6. MR1841091
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1. MR0507725
Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9. MR0463157
Iskovskih, V. A.; Manin, Ju. I. (1971), “Three-dimensional quartics and counterexamples to the Lüroth problem”, Matematicheskii Sbornik, Novaya Seriya 86: 140.166, doi:10.1070/SM1971v015n01ABEH001536, MR0291172
Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, ISBN 0-521-63277-3, MR1658959
Mori, Shigefumi (1988), “Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds”, Journal of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 1 (1): 117–253, ISSN 0894-0347, MR924704, http://www.jstor.org/stable/1990969

[1] ネフ：すべての曲線 C ⊂ X に対して (L.C)≧0 が成り立つようなラインバンドル　L のこと数値的正(ネフ）という、標準バンドル K_X がネフであるような代数多様体のことを極小と呼ぶ。繰り返しになるが、代数多様体上のラインバンドルは、多様体の任意の代数曲線への制限の次数が非負のときに、ネフ(nef)("numerically effective" もしくは "numerically eventually free" を短くした)と呼ばれる。特にすべての豊富なラインバンドル(ample line bundle)はネフである。同様に、代数多様体 X 上のカルティエ因子 D な次が成り立てば、ネフである。X の中に含まれる任意の代数曲線 C に対して、交点理論の意味で、
$D\cdot C\geq 0\,$
であることネフの別の定義は、交差数内積 M を持つ（従って $x\cdot y=y^{T}Mx$ である）の内積空間 V の観点から（そうすると $x\cdot y=y^{T}Mx$ となる）、ベクトル w がネフとは、すべての有効な y に対して $w\cdot y\geq 0$ となることを言う。そこでは有効(effective)とは基底ベクトルの非付線型結合として書くことができることを意味する。

[2] Kollár and Mori, Birational Geometry of Algebraic Varieties (1998), Theorem 1.29.

[3] Hartshorne, Algebraic Geometry (1977), Exercise II.8.8.

[4] Birkar, Cascini, Hacon, and McKernan. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), 405-468. Corollary 1.3.3 は、全ての単線織多様体はファノファイバー空間に双有理であることを、単線織多様体 X が次数が負である K_X を持つ曲線の族により被覆されるという簡単な結果を使い示した。後者の参考としてDebarre, Higher-Dimensional Algebraic Geometry (2001), Corollary 4.11 および Example 4.7(1) を参照。

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+{{要改訳}}
-[[代数幾何学]]では、'''双有理幾何学'''(birational geometry)の目標は、2つの[[代数多様体]]が（多様体の次元）より低い次元の部分を除き、どのようなときに同型となるかを決定することである。このことは、多項式というよりも、[[有理函数]]により与えられる写像を研究することを意味し、有理函数が[[特異点|極]]を持つ場合は(写像を）定義することができないかもしれない。
+[[Image:Stereoprojzero.svg|300px|thumb|right|[[円_(数学)|円]]は[[直線]]と双有理同値である。これらの間の双有理写像のひとつは、ここに図示したような[[立体射影]]である。]]
-<!--In [[algebraic geometry]], the goal of '''birational geometry''' is to determine when two [[algebraic varieties]] are isomorphic outside lower-dimensional subsets. This amounts to studying mappings that are given by [[rational functions]] rather than polynomials; the map may fail to be defined where the rational functions have poles.-->
+[[代数幾何学]]では、'''双有理幾何学'''(birational geometry)の目標は、2つの[[代数多様体]]が（多様体の次元）より低い次元の部分を除き、どのようなときに同型となるかを決定することである。このことは、多項式というよりも、[[有理函数]]により与えられる写像を研究することを意味し、有理函数が[[特異点|極]]を持つところでは(写像を）定義できないことがある。
+<!--[[Image:Stereoprojzero.svg|thumb|right|The [[circle]] is birationally equivalent to the [[real line|line]]. One birational map between them is [[stereographic projection]], pictured here.]]
+In [[algebraic geometry]], the goal of '''birational geometry''' is to determine when two [[algebraic varieties]] are isomorphic outside lower-dimensional subsets. This amounts to studying mappings that are given by [[rational functions]] rather than polynomials; the map may fail to be defined where the rational functions have poles.-->
 ==双有理写像==
-ある（既約な）代数多様体 X から別の多様体 Y への{{仮リンク|有理写像|en|rational mapping}}は、矢印で X → Y と書かれ、X の空ではない開集合 U から Y への{{仮リンク|射 (代数幾何学)|label=射|en|algebraic_geometry#morphism_of_affine_varieties}}(morphism)として定義される。代数幾何学で使用される{{仮リンク|ザリスキ位相|en|Zariski topology}}の定義により、空ではない開部分集合 U は常に X の低い次元の部分集合の補集合である。具体的には、有理写像は有理函数を使った座標で記述することができる。
+ある（[[既約成分|既約]](irreducible)な）代数多様体 ''X'' から別の多様体 ''Y'' への{{仮リンク|有理写像|en|rational mapping}}は、ダッシュ付矢印で  <math> X \;-\!\!\to Y</math><!-- \dashedrightarrowが使えないので無理矢理 --> と書かれ、''X'' の空ではない開集合 ''U'' から ''Y'' への{{仮リンク|射 (代数幾何学)|label=射|en|algebraic_geometry#morphism_of_affine_varieties}}(morphism)として定義される。代数幾何学で使用される[[ザリスキ位相]]の定義により、空ではない開部分集合 U は常に X の低い次元の部分集合の補集合である。具体的には、有理写像は有理函数を使って座標で記述することができる。
-X から Y への'''双有理写像'''(birational map)は、有理写像 f: X → Y であり、f の逆写像 Y → X も有理写像である写像を言う。双有理写像は、X の空でない開集合から Y の空でない開集合への同型をひき起こす。この場合には、X と Y は '''双有理'''(birational) もしくは '''双有理同値''' と言う。代数的なことばでは、体 k 上の2つの多様体が双有理とは、それらの代数多様体の[[代数多様体の函数体|函数体]]が k の拡大として同型であることと同値である。
+''X'' から ''Y'' への'''双有理写像'''(birational map)は、有理写像 <math> f \colon X \;-\!\!\to Y</math> であり、''f'' の逆写像 <math> Y \;-\!\!\to X</math> も有理写像である写像を言う。双有理写像は、''X'' の空でない開集合から ''Y'' の空でない開集合への同型をひき起こす。このとき、''X'' と ''Y'' は '''双有理'''(birational) もしくは '''双有理同値'''(birationally equivalent)と言う。代数的なことばでは、体 ''k'' 上の2つの多様体が双有理とは、それらの代数多様体の[[代数多様体の函数体|函数体]]が ''k'' の拡大体として同型であることと同値である。
 <!--==Birational maps==
+A [[rational mapping|rational map]] from one variety (understood to be [[Irreducible_component|irreducible]]) ''X'' to another variety ''Y'', written as a dashed arrow ''X'' &ndash; → ''Y'', is defined as a [[algebraic_geometry#Morphism_of_affine_varieties|morphism]] from a nonempty open subset ''U'' of ''X'' to ''Y''. By definition of the [[Zariski topology]] used in algebraic geometry, a nonempty open subset ''U'' is always the complement of a lower-dimensional subset of ''X''. Concretely, a rational map can be written in coordinates using rational functions.
-A [[rational mapping|rational map]] from one variety
-(understood to be irreducible) ''X'' to another variety ''Y'', written as a dashed arrow ''X'' &ndash; → ''Y'', is defined as a [[algebraic_geometry#Morphism_of_affine_varieties|morphism]] from a nonempty open subset ''U'' of ''X'' to ''Y''. By definition of the [[Zariski topology]] used in algebraic geometry, a nonempty open subset ''U'' is always the complement of a lower-dimensional subset of ''X''. Concretely, a rational map can be written in coordinates using rational functions.
 A '''birational map''' from ''X'' to ''Y'' is a rational map ''f'': ''X'' &ndash; → ''Y'' such that there is a rational map ''Y'' &ndash; → ''X'' inverse to ''f''. A birational map induces an isomorphism from a nonempty open subset of ''X'' to a nonempty open subset of ''Y''. In this case, we say that ''X'' and ''Y'' are '''birational''', or '''birationally equivalent'''. In algebraic terms, two varieties over a field ''k'' are birational if and only if their [[Function field of an algebraic variety|function fields]] are isomorphic
 as extension fields of ''k''.-->
-特別な場合として、'''双有理写像''' f: X → Y が射(morphism)が双有理な場合がある。すなわち、f が全ての領域の上で定義されているが、逆が必ずしも定義されていない場合である。典型的には、これは、双有理写像がある X の部分多様体から Y の点へ縮めるからである。
+特別な場合として、'''双有理写像''' f: X → Y が代数多様体の射(morphism)となる場合がある。すなわち、f が全ての領域の上で定義されているが、逆が必ずしも全ての領域で定義されていない場合である。典型的には、双有理写像が X の部分多様体を Y の点へ縮めることがあるからである。
 多様体 X が[[有理多様体|有理的]]とは、ある次元のアフィン空間（もしくは、同じことであるが、[[射影空間]]）と双有理的である場合を言う。有理性は、非常に自然な性質であって、X からより低い次元の部分集合を引いたものが、アフィン空間からあるより低い次元の部分集合を引いたものと同一視できることを意味する。
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 と
 :<math>y=\frac{1-t^2}{1+t^2}\,,</math>
-は、アフィン直線から円への双有理写像を定義するからである。（明らかに、逆写像は、(x,y) を 2(1-y)/x へ写す。）
+は、アフィン直線から円への双有理写像を定義するからである。逆写像は、(x, y) を (1 − y) / x へ写す。
 <!--For example, the circle with equation ''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0
 is a rational curve, because the formulas
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 define a birational map from the affine line to the circle. (Explicitly, the inverse map sends (''x'',''y'') to (1&nbsp;&minus;&nbsp;''y'')/''x''.)-->
-さらに一般的には、任意次元の滑らかな二次（次数 2）の超曲面 X は、[[ステレオ投影|立体射影]]により有理的である。（体 k 上で 2次的な X に対し、X は{{仮リンク|k-有理点|en|Rational point#Rational_or_K-rational_points_on_algebraic_varieties}}(k-rational point)を持っている。k が代数的閉体であれば、自動的にそのようになる。）立体射影を定義するために、p を X の点とすると、X の中の点 q を p と q を通る力線へ写像することにより、X から p を通る直線の射影空間 '''P'''<sup>n</sup> への双有理写像を定義する。これは双有理写像であるが、しかし多様体の同型ではない。なぜならば、q = p では定義できないからである（そして、逆写像も X に含まれる p を通るこれらの直線を定義することができない）。
+さらに一般的には、任意次元の滑らかな二次（次数 2）の超曲面 X は、[[ステレオ投影|立体射影]]により有理的である。（体 k 上で 2次的な X に対し、X は[[k-有理点]]を持っている。k が代数的閉体であれば、自動的にそのようになる。）立体射影を定義するために、p を X の点とすると、X の中の点 q を p と q を通る力線へ写像することにより、X から p を通る直線の射影空間 '''P'''<sup>n</sup> への双有理写像を定義する。これは双有理写像であるが、しかし多様体の同型ではない。なぜならば、q = p では定義できないからである（そして、逆写像も X に含まれる p を通るこれらの直線を定義することができない）。
 <!--More generally, a smooth quadric (degree 2) hypersurface ''X'' of any dimension ''n'' is rational, by [[stereographic projection]]. (For ''X'' a quadric over a field ''k'', we have to assume that ''X'' has a [[Rational point#Rational_or_K-rational_points_on_algebraic_varieties|''k''-rational point]]; this is automatic if ''k'' is algebraically closed.) To define stereographic projection, let ''p'' be a point in ''X''. Then we define a birational map from ''X'' to the projective space '''P'''<sup>''n''</sup> of lines through ''p'' by sending a point ''q'' in ''X'' to the line through ''p'' and ''q''. This is a birational equivalence but not an isomorphism of varieties, because it fails to be defined where ''q'' = ''p'' (and the inverse map fails to be defined at those lines through ''p'' which are contained in ''X'').-->
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 全ての代数多様体は[[射影多様体]]に双有理であるので、双有理分類の目的のためには、射影多様体のみに専念すれば良く、このことは普通は最も便利な設定である。
-広中の1964年の[[特異点解消]]定理は非常に深く、（複素数のような）標数が 0 の体の上の全ての多様体は、{{仮リンク|滑らかな|en|Singular point of an algebraic variety}}射影多様体に双有理的である。このことが与えられると、滑らかな射影多様体を双有理同値を除外して分類することに集中することができる。
+[[広中平祐]]の1964年の[[特異点解消]]定理は非常に深く、（複素数のような）標数が 0 の体の上の全ての多様体は、[[代数多様体の特異点|滑らかな]]射影多様体に双有理的である。このことが与えられると、滑らかな射影多様体を双有理同値を除外して分類することに集中することができる。
 <!--==Minimal models and resolution of singularities==
 Every algebraic variety is birational to a [[projective variety]]. So, for the purposes of birational classification, we can work only with projective varieties, and this is usually the most
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 次元 1 では、2つの滑らかな射影曲線が双有理であれば、それらは同型である。しかし少なくとも次元が 2 でこのことはブローアップ([[:en:blowing up]])の構成により成立しない。ブローアップにより、少なくとも次元 2 の全ての滑らかな射影多様体は、例えば、より大きな[[ベッチ数]]を持つ、無限に多くの「より大きな」多様体に双有理同値である。
-このことは、[[極小モデル]](minimal model)の考え方を導く。各々の双有理同値類の中に一意に最も小さい代数多様体を見つけることは可能か？
+このことは、[[極小モデル]]の考え方を導く。各々の双有理同値類の中に一意に最も小さい代数多様体を見つけることは可能か？
-現代の定義は、射影的多様体 X が'''極小'''とは、[[標準バンドル|標準ラインバンドル]] K<sub>X</sub> が X のすべての曲線で非負な次数を持つことである。言い換えると、K<sub>X</sub> は{{仮リンク|nefラインバンドル|label=ネフ|en|nef line bundle}}（'''数値的正'''という意味だが、通常使用しているので、本文では'''ネフ'''という用語を使用する。脚注参照）<ref>すべての曲線 C ⊂ X に対して (L.C)≧0 が成り立つようなラインバンドル　L のこと数値的正(ネフ）という、標準バンドル K<sub>X</sub> がネフであるような[[代数多様体]]のことを極小と呼ぶ。
+現代の定義は、射影的多様体 X が'''極小'''とは、[[標準バンドル|標準ラインバンドル]] K<sub>X</sub> が X のすべての曲線で非負な次数を持つことである。言い換えると、K<sub>X</sub> は[[#ネフ|ネフ]]（'''数値的正'''という意味だが、通常使用しているので、本文では'''ネフ'''という用語を使用する。）<ref>'''{{Anchors|ネフ}}ネフ'''：すべての曲線 C ⊂ X に対して (L.C)≧0 が成り立つようなラインバンドル　L のこと数値的正(ネフ）という、標準バンドル K<sub>X</sub> がネフであるような[[代数多様体]]のことを極小と呼ぶ。
 繰り返しになるが、[[代数多様体]]上の[[ラインバンドル]]は、多様体の任意の[[代数曲線]]への制限の次数が非負のときに、'''ネフ'''(nef)("numerically effective" もしくは "numerically eventually free" を短くした)と呼ばれる。
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 ネフの別の定義は、交差数内積 M を持つ（従って <math> x\cdot y = y^T M x </math> である）の内積空間 V の観点から（そうすると <math> x\cdot y = y^T M x </math> となる）、ベクトル w がネフとは、すべての有効な y に対して <math> w \cdot y \ge 0 </math> となることを言う。そこでは有効(effective)とは基底ベクトルの非付線型結合として書くことができることを意味する。</ref>である。ブローアップした多様体が決して極小ではありえないことは、容易にチェックできる。
-この考え方は、代数曲線（次元が 2 の多様体）に対しては完全に成り立つ。現代のことばでは、1890年から1910年までの{{仮リンク|代数幾何学のイタリア学派|en|Italian school of algebraic  geometry}}の一つの中心的な結果は、[[エンリケス・小平の分類|曲面の分類]]の一部とあわせ、すべての曲面 X は、ある曲線 C が存在して積 '''P'''<sup>1</sup> × C か、もしくは極小曲面 Y のどちらかに双有理同値である。2つの場合は互いに排他的であり、Y は存在するとしたら一意である。Y が存在すると、X の[[極小モデルプログラム|極小モデル]]と呼ばれる。
+この考え方は、代数曲線（次元が 2 の多様体）に対しては完全に成り立つ。現代のことばでは、1890年から1910年までの{{仮リンク|代数幾何学のイタリア学派|en|Italian school of algebraic  geometry}}の一つの中心的な結果は、[[エンリケス・小平の分類|曲面の分類]]の一部とあわせ、すべての曲面 X は、ある曲線 C が存在して積 '''P'''<sup>1</sup> × C か、もしくは極小曲面 Y のどちらかに双有理同値である。<ref>Kollár and Mori, Birational Geometry of Algebraic Varieties (1998), Theorem 1.29.</ref> 2つの場合は互いに排他的であり、Y は存在するとしたら一意である。Y が存在すると、X の極小モデルと呼ばれる。
 <!--This notion works perfectly for algebraic surfaces (varieties of dimension 2). In modern terms, one central result of the [[Italian school of algebraic geometry]] from 1890-1910, part of the [[Enriques–Kodaira classification|classification of surfaces]],
-is that every surface ''X'' is birational either to a product '''P'''<sup>1</sup> × ''C'' for some curve ''C'' or to a minimal surface ''Y''. The two cases are mutually exclusive, and ''Y'' is unique if it exists. When ''Y'' exists, it is called the [[minimal model program|minimal model]] of&nbsp;''X''.-->
+is that every surface ''X'' is birational either to a product '''P'''<sup>1</sup> × ''C'' for some curve ''C'' or to a minimal surface ''Y''.<ref>Kollár and Mori, Birational Geometry of Algebraic Varieties (1998), Theorem 1.29.</ref> The two cases are mutually exclusive, and ''Y'' is unique if it exists. When ''Y'' exists, it is called the [[minimal model program|minimal model]] of&nbsp;''X''.-->
 ==双有理不変量==
-{{Main|小平次元}}
+{{Main|小平次元}}{{see also|双有理不変量}}
 まず、どのようにして有理的でない代数多様体が存在するかを示す方法が明らかではない。これを証明するためには、代数多様体の何らかの双有理不変量を作ることが必要である。
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 :<math>\,\!K_X = \Omega^n_X,</math>
-これは、X の{{仮リンク|余接バンドル|en|cotangent bundle}}の n 番目の[[ウェッジ積|外積]]である。整数 d に対し、K<sub>X</sub> の d 番目のテンソル積は、再びラインバンドルとなる。d ≥ 0 に対し、大域的切断のベクトル空間 H<sup>0</sup>(X,K<sub>X</sub><sup>d</sup>) は、滑らかな射影多様体の間の双有理写像 f: X &ndash; → Y は同型 H<sup>0</sup>(X,K<sub>X</sub><sup>d</sup>) &cong; H<sup>0</sup>(Y,K<sub>Y</sub><sup>d</sup>) を導くという注目すべき性質を持っている。
+これは、X の[[余接バンドル]]の n 番目の[[ウェッジ積|外積]]である。整数 d に対し、K<sub>X</sub> の d 番目のテンソル積は、再びラインバンドルとなる。d ≥ 0 に対し、大域的切断のベクトル空間 H<sup>0</sup>(X,K<sub>X</sub><sup>d</sup>) は、滑らかな射影多様体の間の双有理写像 f: X &ndash; → Y は同型 H<sup>0</sup>(X,K<sub>X</sub><sup>d</sup>) &cong; H<sup>0</sup>(Y,K<sub>Y</sub><sup>d</sup>) を導くという注目すべき性質を持っている。<ref>Hartshorne, Algebraic Geometry (1977), Exercise II.8.8.</ref>
 <!--==Birational invariants==
 {{Main|Kodaira dimension}}
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 which is the ''n''th [[exterior power]] of the [[cotangent bundle]] of ''X''. For an integer ''d'', the ''d''th tensor power of ''K''<sub>''X''</sub> is again a line bundle. For ''d'' ≥ 0, the vector space of global sections ''H''<sup>0</sup>(''X'',''K''<sub>''X''</sub><sup>d</sup>) has the
-remarkable property that a birational map ''f'': ''X'' &ndash; → ''Y'' between smooth projective varieties induces an isomorphism ''H''<sup>0</sup>(''X'',''K''<sub>''X''</sub><sup>''d''</sup>) &cong; ''H''<sup>0</sup>(''Y'',''K''<sub>''Y''</sub><sup>''d''</sup>).-->
+remarkable property that a birational map ''f'': ''X'' &ndash; → ''Y'' between smooth projective varieties induces an isomorphism ''H''<sup>0</sup>(''X'',''K''<sub>''X''</sub><sup>''d''</sup>) &cong; ''H''<sup>0</sup>(''Y'',''K''<sub>''Y''</sub><sup>''d''</sup>).<ref>Hartshorne, Algebraic Geometry (1977), Exercise II.8.8.</ref>-->
 d ≥ 0 に対し、d 番目の'''多重種数''' P<sub>d</sub> をベクトル空間 H<sup>0</sup>(X,K<sub>X</sub><sup>d</sup>) の次元として定義すると、多重種数は滑らかな射影多様体に対する双有理不変量である。特に、d > 0 について多重種数 P<sub>d</sub> がゼロでないならば、X は有理的ではない。
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 The [[fundamental group]] ''π''<sub>1</sub>(''X'') is a birational invariant for smooth complex projective varieties.-->
-年にAbramovich, Karu, Matsuki, と Włodarczykにより証明された「弱分解定理」は、2つの滑らかな複素射影多様体の間の任意の双有理写像は、滑らかな多様体への有限個のブローアップとブローダウンに分解することができる。しかし、これが2つの滑らかな射影多様体が双有理であるかどうかを判定することは極めて難しいことを知っておくことが大切である。
+年にAbramovich, Karu, Matsuki, と Włodarczyk [[#refAKMW|(2002)]] により証明された「弱分解定理」は、2つの滑らかな複素射影多様体の間の任意の双有理写像は、滑らかな多様体への有限個のブローアップとブローダウンに分解することができる。しかし、これが2つの滑らかな射影多様体が双有理であるかどうかを判定することは極めて難しいことを知っておくことが大切である。
-<!--The "Weak factorization theorem", proved in 2002 by Abramovich, Karu, Matsuki, and Włodarczyk,
+<!--The "Weak factorization theorem", proved in 2002 by Abramovich, Karu, Matsuki, and Włodarczyk,[[#refAKMW|(2002)]], says that any birational map between two smooth complex projective varieties can be decomposed into finitely many blow-ups or blow-downs of smooth subvarieties. This is important to know, but it can still be very hard to determine whether two smooth projective varieties are birational.-->
-says that any birational map between two smooth complex projective varieties can be decomposed into finitely many blow-ups or blow-downs of smooth subvarieties. This is important to know, but it can still be very hard to determine whether two smooth projective varieties are birational.-->
 ==より高次元の極小モデル==
 {{Main|極小モデル}}
-射影多様体 X が極小とは、[[標準バンドル]] K<sub>X</sub> が{{仮リンク|ネフ|en|nef line bundle}}でであることを言う。2次元の多様体 X に対し、この定義を滑らかな多様体に対して考えることで充分である。
+射影多様体 X が極小とは、[[標準バンドル]] K<sub>X</sub> が{{仮リンク|ネフ|en|nef line bundle}}であることを言う。2次元の多様体 X に対し、この定義を滑らかな多様体に対して考えることで充分である。
 少なくとも次元が 3 の場合には、K<sub>X</sub> がうまく振舞うようなあるマイルドな特異点を持つ極小多様体を持つはずである。これらの（特異点のこと）を[[標準特異点]](canonical singularities)という。
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 ==単線織多様体==
 {{Main|単線織多様体 }}
-極小モデル予想のもう一つの別の面は、'''単線織多様体'''として知られている有理曲線によって被覆された多様体の沿う有理分類についても多くのことが言えることであろう。これらは極小多様体ではないが、しかし、予想では、すべての単線織多様体は[[極小モデル|ファノファイバー空間]]と双有理であろう。このことは、ファノファイバー空間や（もっとも興味深い特別な場合として）[[ファノ多様体]](Fano variety)の双有理分類のプログラムを導く。定義により、射影多様体 X が'''ファノ多様体'''とは、反標準バンドル K<sub>X</sub><sup>*</sup> が[[豊富なラインバンドル]](ample line bundle)のときを言う。ファノ多様体は射影空間にもっとも似ている代数多様体と考えることができる。
+多様体が'''単線織的'''(uniruled)とは、多様体が有理曲線により被覆されるときを言う。単線織多様体は極小モデルを持たないが、しかし、素晴らしい代替品がある。バーカー(Birkar)、カッシーニ(Cascini)、ハーコン(Hacon)、マッカナン(McKernan)は、全ての標数 0 の体の上の単線織多様体は[[極小モデル|ファノファイバー空間]]に双有理であることを示した。<ref>Birkar, Cascini, Hacon, and McKernan. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), 405-468. Corollary 1.3.3 は、全ての単線織多様体はファノファイバー空間に双有理であることを、単線織多様体 X が次数が負である K<sub>X</sub> を持つ曲線の族により被覆されるという簡単な結果を使い示した。後者の参考としてDebarre, Higher-Dimensional Algebraic Geometry (2001), Corollary 4.11 および Example 4.7(1) を参照。</ref> このことからファノファイバー空間と（最も興味のある空間である）[[ファノ多様体]]の双有理分類問題が導かれる。定義により、射影多様体 X がファノ多様体とは、反標準バンドル K<sub>X</sub><sup>*</sup> が[[豊富なラインバンドル|豊富]]であることであり、ファノ多様体は射影空間に最も似ている代数多様体であると考えることができる。
+<!--A variety is called '''uniruled''' if it is covered by rational curves. A uniruled variety does not have a minimal model, but there is a good substitute: Birkar, Cascini, Hacon, and McKernan showed that every uniruled variety over a field of characteristic zero is birational to a [[minimal model program|Fano fiber space]].<ref>Birkar, Cascini, Hacon, and McKernan. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), 405-468. Corollary 1.3.3 implies that every uniruled variety is birational to a Fano fiber space, using the easier result that a uniruled variety ''X'' is covered by a family of curves on which ''K''<sub>''X''</sub> has negative degree. A reference for the latter fact is: Debarre, Higher-Dimensional Algebraic Geometry (2001), Corollary 4.11 and Example 4.7(1).</ref> This leads to the problem of the birational classification of Fano fiber spaces and (as the most interesting special case) [[Fano variety|Fano varieties]]. By definition, a projective variety ''X'' is '''Fano''' if the anticanonical bundle ''K''<sub>''X''</sub><sup>*</sup> is [[ample line bundle|ample]]. Fano varieties can be considered the algebraic varieties which are most similar to projective space.-->
-<!--==Uniruled varieties==
-{{Main|Ruled variety}}
-Another part of the minimal model conjecture would say a lot about the birational classification of varieties covered by rational curves, known as '''uniruled''' varieties. These do not have a minimal model, but the conjecture is that every uniruled variety is birational to a [[minimal model program|Fano fiber space]]. This leads to the problem of the birational classification of Fano fiber spaces and (as the most interesting special case) [[Fano variety|Fano varieties]]. By definition, a projective variety ''X'' is '''Fano''' if the anticanonical bundle ''K''<sub>''X''</sub><sup>*</sup> is [[ample line bundle|ample]]. Fano varieties can be considered the algebraic varieties which are most similar to projective space.-->
 次元が 2 のとき、代数的閉体上のすべてのファノ多様体（{{仮リンク|デル・ペッゾ曲面|en|Del Pezzo surface}}として知られている）は有理的である。1970年代の大きな発見は、次元 3 のときで、[[有理多様体|有理的]]な多くのファノ多様体があることがわかった。特に、滑らかな 3次3次元多様体は[[#refClemensGriffiths1972|Clemens-Griffiths (1972)]]により有理的でないことが示され、滑らかな 4次元3次元多様体も [[#refIskovskikhManin|Iskovskikh-Manin (1971)]]により有理的ではないことが示された。
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 代数多様体は、それらがどれくらい多くの双有理自己同型を持っているかに大きな幅がある。[[小平次元|一般型]]のすべての多様体は、双有理自己同型群は有限群であるという意味で、極度に剛性を持っている。反対の例は、体 k 上の射影空間 '''P'''<sup>n</sup> の自己同型群は、{{仮リンク|クレモナ群|en|Cremona group}} Cr<sub>n</sub>(k) として知られているが、n ≥ 2 に対しては大きい（ある意味では無限次元である）。n = 2 に対しては、少なくとも複素クレモナ群 Cr<sub>2</sub>('''C''') は、 '''P'''<sup>2</sup> の自己同型である群 PGL(3,'''C''') とともに、次の「二次変換」により生成される。
 :[x,y,z] ↦ [1/x, 1/y, 1/z]
-このことはマックス・ネター(Max Noether)とカステルヌオボー(Castelnuovo)により指摘された。対照的に、次元 n ≥ 3 のときのクレモナ群は非常にミステリアスで、明らかな生成しが知られていない。
+このことは{{仮リンク|マックス・ネター|en|Max_Noether}}(Max Noether)と{{仮リンク|グイド・カステルヌオボー|en|Guido_Castelnuovo}}(Guido_Castelnuovo)により指摘された。対照的に、次元 n ≥ 3 のときのクレモナ群は非常にミステリアスで、明らかな生成しか知られていない。
 [[#refIskovskikhManin1971|Iskovskikh-Manin (1971)]]は、滑らかな4次3次元多様体の双有理自己同型群が、有限である自己同型群に等しいことを示した。この意味で、4次3次元多様体は有理多様体とは遠い存在である。なぜならば、有理多様体の双有理自己同型群は巨大であるからだ。この「双有理剛性」とでもいうべき現象は、多くのファノファイバー空間の多くに発見されている。
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 : [''x'',''y'',''z''] ↦ [1/''x'', 1/''y'', 1/''z'']
-together with the group ''PGL''(3,'''C''') of automorphisms of '''P'''<sup>2</sup>, by Max Noether and Castelnuovo. By contrast, the Cremona group in dimensions ''n'' ≥ 3 is very much a mystery: no explicit set of generators is known.
+together with the group ''PGL''(3,'''C''') of automorphisms of '''P'''<sup>2</sup>, by [[Max_Noether|Max Noether]] and [[Guido_Castelnuovo|Castelnuovo]].. By contrast, the Cremona group in dimensions ''n'' ≥ 3 is very much a mystery: no explicit set of generators is known.
 [[#refIskovskikhManin1971|Iskovskikh-Manin (1971)]]
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 ==参照項目==
-*{{仮リンク|ブローアップ (数学)|en|Blowing up}}
+*[[ブローアップ (数学)]]
 *[[小平次元]]
 *[[極小モデル]]
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 ==参考文献==
-*{{Citation | ref=refBCHM | last1=Birkar | first1=Caucher | last2=Cascini | first2=Paolo | last3=Hacon | first3=Christopher D. | last4=McKernan | first4=James | title=Existence of minimal models for varieties of log general type | arxiv=math.AG/0610203 | doi=10.1090/S0894-0347-09-00649-3 | mr=2601039 | year=2010 | journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] | volume=23 | issue=2 | pages=405–468}}
+*{{Citation | ref=refAKMW | last1=Abramovich | first1=Dan | last2=Karu | first2=Kalle | last3=Matsuki | first3=Kenji | last4=Włodarczyk | first4=Jarosław | title=Torification and factorization of birational maps | journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] | volume=15 | year=2002 | number=3 | pages=531–572 | doi=10.1090/S0894-0347-02-00396-X | mr=1896232}}
+*{{Citation | ref=refBCHM | authorlink1=Caucher_Birkar | last1=Birkar | first1=Caucher | last2=Cascini | first2=Paolo | authorlink3=Christopher_Hacon | last3=Hacon | first3=Christopher D. | authorlink4=James_McKernan | last4=McKernan | first4=James | title=Existence of minimal models for varieties of log general type | arxiv=math.AG/0610203 | doi=10.1090/S0894-0347-09-00649-3 | mr=2601039 | year=2010 | journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] | volume=23 | issue=2 | pages=405–468}}
-*{{Citation | last1=Clemens | first1=C. Herbert | last2=Griffiths | first2=Phillip A. |
+*{{Citation | last1=Clemens | first1=C. Herbert | authorlink2=Phillip_Griffiths | last2=Griffiths | first2=Phillip A. |
 title=The intermediate Jacobian of the cubic threefold | id={{MathSciNet | id = 0302652}}
 | year=1972 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] |
 issn=0003-486X | volume=95 | pages=281.356 | doi=10.2307/1970801 | issue=2 |
 publisher=The Annals of Mathematics, Vol. 95, No. 2 | jstor=1970801}}
-*{{cite book | last1=Griffiths|first1= Phillip |last2= Harris|first2= Joseph |
+*{{cite book | last1=Debarre | first1=Olivier | title=Higher-Dimensional Algebraic Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2001 | isbn=0-387-95227-6 | mr=1841091 }}
-title=Principles of Algebraic Geometry | publisher=John Wiley & Sons | year=1978 |
+*{{cite book | authorlink1=Phillip_Griffiths | last1=Griffiths | first1= Phillip | authorlink2=Joe_Harris_(mathematician) | last2= Harris | first2= Joseph | title=Principles of Algebraic Geometry | publisher=John Wiley & Sons | year=1978 | isbn=0-471-32792-1 | mr=0507725}}
+*{{cite book | authorlink1=Robin_Hartshorne | last1=Hartshorne| first= Robin | title=Algebraic Geometry | publisher=Springer-Verlag | year=1977 | isbn=0-387-90244-9 | mr=0463157}}
-isbn=0-471-32792-1 }}
+*{{Citation | last1=Iskovskih | first1=V. A. | authorlink2=Yuri_Manin | last2=Manin | first2=Ju. I. |
-*{{cite book | last1=Hartshorne|first= Robin | title=Algebraic Geometry
+title=Three-dimensional quartics and counterexamples to the Lüroth problem | doi=
-|publisher=Springer-Verlag | year=1977 | isbn=0-387-90244-9 }}
+.1070/SM1971v015n01ABEH001536 | mr=0291172 | year=1971 |
-*{{Citation | last1=Iskovskih | first1=V. A. | last2=Manin | first2=Ju. I. |
-title=Three-dimensional quartics and counterexamples to the Lüroth problem | doi=
-.1070/SM1971v015n01ABEH001536 | id={{MathSciNet | id = 0291172}} | year=1971 |
 journal=Matematicheskii Sbornik|series=Novaya Seriya | volume=86 | pages=140.166}}
-* {{Citation | authorlink1=János_Kollár | last1=Kollár | first1=János | authorlink2=Shigefumi Mori | last2=Mori | first2=Shigefumi | title=Birational Geometry of Algebraic Varieties | publisher=[[Cambridge University Press]] | year= 1998 | isbn=0-521-63277-3}}
+* {{Citation | authorlink1=János_Kollár | last1=Kollár | first1=János | authorlink2=Shigefumi Mori | last2=Mori | first2=Shigefumi | title=Birational Geometry of Algebraic Varieties | publisher=[[Cambridge University Press]] | year= 1998 | isbn=0-521-63277-3 | mr=1658959}}
-*{{Citation | last1=Mori | first1=Shigefumi | title=Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds | url=http://www.jstor.org/stable/1990969 | id={{MathSciNet | id = 924704}} | year=1988 | journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] | issn=0894-0347 | volume=1 | issue=1 | pages=117–253 | publisher=American Mathematical Society}}
+*{{Citation | authorlink1=Shigefumi Mori | last1=Mori | first1=Shigefumi | title=Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds | url=http://www.jstor.org/stable/1990969 | id={{MathSciNet | id = 924704}} | year=1988 | journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] | issn=0894-0347 | volume=1 | issue=1 | pages=117–253 | publisher=American Mathematical Society}}
 {{デフォルトソート:そうゆうりきかかく}}