集合

集合は、有限または無限のいくつかの(通常相異なる)要素（または元）から構成される"もののあつまり"である。数学、特に集合論の基本となる考え方になっている。
aが集合Aの要素であることを

a∈A

と表す。

集合を定義する方法

• 有限集合の場合、各要素をすべて列挙することで定義するのが一つの方法である。

例：10未満の自然数における奇数の集合

$A=\{1,3,5,7,9\}$

• 次の形式で定義することも可能。

$S=\{x|P(x)\}$

これはP(x)を満たすようなすべての要素xから構成される集合である。この形式では無限集合が定義可能。

例

自然数(N)における奇数の集合(自然数に0を含む場合)

$B=\{x|\exists n\in \mathbb {N} \quad 2n+1=x\}$

これはしばしば、

B = {1,3,5,7,...}

のようにも書かれるが、... の部分が何を言っているのかが明らかな場合しか使うべきではない。

等号

二つの集合が同じ要素を全て含み、なおかつ異なる要素を含まないとき、二つの集合が等しいという。集合AとBが等しいことを$A=B$と表す。

部分集合の関係を用いて、次のことが成り立つ。

A = B ⇔ A ⊆ B かつ A ⊇ B

例

A = {0,1,2,3,4,5}

B = {n | n ∈ N , n ≤ 5 } (自然数に0を含む)

このとき A = B である

集合は、順番を入れ替えたり、同じものを付け加えても、もとのものと等しい：

$\{1,2,5,7,10\}=\{5,1,7,2,1,5,10,2\}$

一つも要素を含まないような集合を空集合といい、{} または Ø と表す。全ての集合は空集合を部分集合として含む。

関連項目

• 部分集合
• 和集合、共通部分、差集合
• 直積集合
• 写像
• 凸集合
• 素朴集合論
• 公理的集合論
• 開集合、閉集合