生存率曲線

生存率曲線（せいぞんりつきょくせん、英: survival curve）は、治療を行った後の患者の生存率をグラフにしたものである。生存期間中央値やn年生存率を総合的に読み取ることが可能で、治療方法別の生存率曲線を同一平面にプロットすることにより、治療方法の優劣を評価する事もできる。

なお、確率モデルなどから導出される生存率曲線は滑らかではあるが、実際に観測値を元にしたグラフでは被験者数が限られるため、階段状か、折れ線になり滑らかではない。

生存率曲線の種類

Kaplan-Meier法
- 全観察対象を死亡または打ち切り時間の小さい順に並べ、死亡発生ごとに生存率を計算する。
- サンプル数が少数のときに用いられる事が多い。
- 階段状のグラフができる。
- 2群の生存時間に差があるかどうかの検定として、Cox-Mantel検定、一般化Wilcoxon検定、Log rank検定を用いることができる。
Cutler-Ederer法（臨床生命表）
- 生存期間をいくつかの区間に区分して各区間での生存率を求め、それに基づいて累積生存率を求める。
- サンプル数が十分あるときに用いることができる。
- 各区間での生存率を半直線で結んだ折れ線グラフとなる。
- 各区間ごとに標準誤差が観測されるため、2群の生存時間に差があるかどうかの検定として、t検定を用いることができる。

一般的な定式化

生存関数

生存関数（慣例的に S と表記）は下記のように定義される。

S(t)=\Pr(t<T)

ここで、 $t$ はある時刻, $T$ は死亡時刻を表す確率変数、 $Pr$ は確率（Probability）を表す。すなわち、生存関数は、時刻 t が死亡時刻よりも前である確率である。生存関数（survival function）は、生物学的生存問題では survivor function や survivorship function、機械的生存問題では信頼性関数（reliability function; $R(t)$ ）などとも表記される。

通常は $S(0)=1$ と仮定するが、即死や故障の可能性があれば $S(0)<1$ となることもある。

生存関数は非増加関数、すなわち $u>t$ ならば $S(u)\leq S(t)$ をみたす必要がある。これは、 $T>u$ ならば $T>t$ であることから導かれる。若い年齢を達成できなければ、その後の年齢まで生存できないという考えを反映している。この性質から、生存時間の分布関数 $F$ と確率密度関数 $f$ を定義することができる。

生存関数は、通常、年齢が増加するにつれてゼロに近づくと仮定される（ $\lim _{t\to \infty }S(t)=0$ ）。しかし、永遠の命が可能であれば、その極限はゼロよりも大きくなる。例えば、炭素に生存分析を適用した場合、不安定同位体は遅かれ早かれ崩壊するが、安定同位体は永遠に存続する。