極値

数学の実解析において、実数値関数の極値（きょくち、英: extremum^{[注 1]}）とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。

定義

$n$ 次元ユークリッド空間 $(R n, d)$ の開集合 $U$ 上で定義された実数値関数 $f : U \to R$ をとる^{[注 2]}。関数 $f$ を定義域 $U$ に属する点 $p$ のある $ε$ 近傍に制限すると値 $f (p)$ がその最小値であるとき、値 $f (p)$ を関数 $f$ の極小値（local minimum）といい、点 $p$ を関数 $f$ の極小点（local minimum point^[1]）という。この条件は論理式を用いると

\exists \varepsilon >0[\forall q\in U[d(p,q)<\varepsilon \implies f(p)\leq f(q)]]

と表せる^{[注 3]}。同様に関数 $f$ を定義域 $U$ に属する点 $p$ のある $ε$ 近傍に制限すると値 $f (p)$ がその最大値であるとき値 $f (p)$ を関数 $f$ の極大値（local maximum）といい、点 $p$ を関数 $f$ の極大点（local maximum point^[1]）という。

極小値と極大値を総称して極値（extremum）といい、極小点と極大点を総称して極値点という。

上の条件に現れる $d (p, q) < ε \Rightarrow f (p) \leq f (q)$ を $0 < d (p, q) < ε \Rightarrow f (p) < f (q)$ へ置き換えたとき、値 $f (p)$ を関数 $f$ の狭義の極小値（strict local minimum）という。同様に狭義の極大値（strict local maximum）も定義される。またこれらを総称して狭義の極値という。（ただし狭義の極値を単に極値と呼ぶこともあるので、実際に用いられている定義をよく確認する必要がある。）

必要条件

$n$ 次元ユークリッド空間 $R n$ の開集合 $U$ 上で定義された実数値関数 $f : U \to R$ をとり、これが微分可能であるとする。

定義域 $U$ に属する点 $p$ における関数 $f$ の勾配

\nabla f(p)={\bigg [}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p),\dotsc ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p){\bigg ]}

が $0$ であるとき、点 $p$ を関数 $f$ の停留点（stationary point）あるいは臨界点（critical point）といい、値 $f (p)$ を停留値（stationary value）あるいは臨界値（critical value）という。

点 $p$ が関数 $f$ の極値点であるためには、点 $p$ が関数 $f$ の停留点であることが必要である。

十分条件

原点は関数 $x 2 + y 2$ , $x 2$ , $x 2 - y 2$ すべての停留点である。関数 $x 2 + y 2$ の原点におけるヘッセ行列は正の定符号であり、原点で関数 $x 2 + y 2$ は狭義の極小値をとる。また関数 $x 2 - y 2$ の原点におけるヘッセ行列は不定符号であり、原点は関数 $x 2 - y 2$ の鞍点である。一方で関数 $x 2$ の原点におけるヘッセ行列は特異行列であり、原点で退化している。

$n$ 次元ユークリッド空間 $R n$ の開集合 $U$ 上で定義された実数値関数 $f : U \to R$ をとり、これが2回連続微分可能であるとする。

関数 $f$ の停留点 $p$ におけるヘッセ行列

\nabla ^{2}f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}(p)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(p)\end{bmatrix}}

が正の定符号（ $\nabla 2 f (p) > 0$ ）であるならば関数 $f$ は点 $p$ において狭義の極小値をとる^[2]。またヘッセ行列 $\nabla 2 f (p)$ が負の定符号（ $\nabla 2 f (p) < 0$ ）であるならば関数 $f$ は点 $p$ において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 $f$ は点 $p$ において極値をとらない（このとき点 $p$ は関数 $f$ の鞍点と呼ばれる）。

この方法^{[注 4]}により、ヘッセ行列 $\nabla 2 f (p)$ が特異行列で停留点 $p$ が退化している場合を除けば、極値判定ができる。

注釈

^ 複数形は不規則で extrema になる。
^ より一般に部分集合 $E$ 上で定義された実数値関数をとり、その内点 $p$ に対してのみ極値を定義することもある。
^ 値 $m$ が関数 $f$ の最小値であるとは値 $m$ が像 $f (U)$ の最小元であること、すなわち条件
$[\exists p\in U[m=f(p)]]\land [\forall q\in U[m\leq f(q)]]$
が成立することであった。したがって最小値は極小値である。
^ この極値判定法を英語では second derivative test と呼ぶこともある。

出典

参考文献

ユルゲン・ヨスト『ポストモダン解析学』シュプリンガー、2000年。ISBN 978-4-431-70871-1。

書評 doi:10.11429/sugaku1947.54.314

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Extremum". mathworld.wolfram.com (英語).
extremum - PlanetMath.（英語）
Ivanov, A.B. (2001), “Extremum”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
extremum in nLab

[1] 複数形は不規則で extrema になる。

[2] より一般に部分集合 $E$ 上で定義された実数値関数をとり、その内点 $p$ に対してのみ極値を定義することもある。

[4] 値 $m$ が関数 $f$ の最小値であるとは値 $m$ が像 $f (U)$ の最小元であること、すなわち条件
$[\exists p\in U[m=f(p)]]\land [\forall q\in U[m\leq f(q)]]$
が成立することであった。したがって最小値は極小値である。

[6] この極値判定法を英語では second derivative test と呼ぶこともある。

[maximum-3] Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Maximum and minimum points”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[FOOTNOTEヨスト2000142定理_9.12-5] ヨスト 2000, p. 142, 定理 9.12.

[注 1]

[注 2]

[1]

[注 3]

[2]

[注 4]

定義

必要条件

十分条件

注釈

出典

関連項目

参考文献

外部リンク