四極子

四極子（しきょくし、英: quadrupole, quadrapole）または四重極とは、モーメントが等しい双極子が、2個逆向きに接近して並んでいるような単極子の分布をいう。単極子を正方形状に配置したものと、直線状に配置したものがあり、それぞれ横型、縦型と呼び分けられる。また、有限の大きさの電荷分布が作る場を多重極展開（英語版）したときにも現れる。

電荷の分布を電気四極子、磁荷の分布を磁気四極子という。電磁気学においては単に四極子といえば、電気四極子を指すことが多い。

電気四極子モーメントは2階の対称テンソルであり、以下のように定義される ^[1] ^[2]:

Q_{ij}=\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})r_{i}r_{j}

ここで、 $\rho ({\boldsymbol {r}})$ は位置 ${\boldsymbol {r}}$ における電荷密度で、添字 $i,j\in \{x,y,z\}$ である。直積を用いると

{\boldsymbol {Q}}=\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}}){\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}

あるいはトレースなしのテンソルとして以下のように定義される^[2]:

{\begin{aligned}\Theta _{ij}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})(3r_{i}r_{j}-\delta _{ij}r^{2})={\frac {1}{2}}\left[3Q_{ij}-\delta _{ij}(Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz})\right]\\{\boldsymbol {\Theta }}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V\rho ({\boldsymbol {r}})(3{\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {1}}r^{2})={\frac {1}{2}}(3{\boldsymbol {Q}}-{\boldsymbol {1}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {Q}})\end{aligned}}

$\delta$ はクロネッカーのデルタである。

電気四極子モーメントによる電位 $\phi$ は

\phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {{\boldsymbol {r}}^{\intercal }{\boldsymbol {\Theta }}{\boldsymbol {r}}}{r^{5}}}

で与えられる。 $\epsilon$ は誘電率である。

一般に四極子のポテンシャルφは単極子のそれφ_monopole の空間についての2階微分で表される^[3]。

\phi \propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}\phi _{\mathrm {monopole} }

　（横型）

\phi \propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\phi _{\mathrm {monopole} }

　（縦型）

また、音響学においても用いられ^[4]、音源の一種として扱われる。

参考文献

^ 太田浩一『電磁気学の基礎I』シュプリンガー・ジャパン、2007年、71頁。ISBN 978-4-431-72739-2。
^ ^a ^b E Richard Cohen; Tom Cvitas; Jeremy G Frey et al., eds. (2007), Quantities, Units, and Symbols in Physical Chemistry (3rd ed.), RSC Publishing, doi:10.1039/9781847557889, ISBN 978-0-85404-433-7
^ 吉川茂; 藤田肇『基礎音響学』講談社サイエンティフィク、2002年、187頁。ISBN 4-06-153972-8。
^ Earl G. Williams 著、吉川茂、西條献児訳『フーリエ音響学』シュプリンガー・フェアラーク東京、2005年、243頁。

『物理学辞典』培風館、1984年

参考文献

関連項目