条件付き確率

条件付き確率（じょうけんつきかくりつ、英: conditional probability）は、ある事象 $B$ が起こるという条件下での別の事象 $A$ の確率のことをいう。条件付き確率は $P (A | B)$ または $P B (A)$ のように表される^[1]。条件付き確率 $P (A | B)$ はしばしば「 $B$ が起こったときの $A$ の（条件付き）確率」「条件 $B$ の下での $A$ の確率」などと表現される。なお英文においては通例、“probability of $A$ given $B$ ” または “probability of $A$ under the condition $B$ ” と表現される。

定義

$A$ および $B$ を事象とし、 $P (B) > 0$ とすると、 $B$ における $A$ の条件付き確率は

\operatorname {P} (A\mid B)={\frac {\operatorname {P} (A\cap B)}{\operatorname {P} (B)}}

あるいは

\operatorname {P} (A\cap B)=\operatorname {P} (A\mid B)\operatorname {P} (B)

により定義される^[2]^[3]。

測度論的定義

上記の定義では P(B) = 0 の場合 P(A|B) は未定義である。しかしながら、そのような事象に対して完全加法族の観点から条件付き確率を定義することは可能である。

例えば、X と Y は退化分布ではない連続同時分布 ƒ_X,Y(x,y) に従う確率変数であるとする。B が正の測度を持つ場合、以下が成立する。

\operatorname {P} (X\in A\mid Y\in B)={\frac {\int _{y\in B}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\int _{y\in B}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}}

しかし B の測度が 0 の場合が問題である。B = {y₀} の場合、単一点を表現しているが、条件付き確率は以下になる。

\operatorname {P} (X\in A\mid Y=y_{0})={\frac {\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}{\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}},

この方法はボレル-コルモゴロフのパラドックス（英語版）が生じる。測度が 0 の場合のより一般的なケースでは更に問題である。下記のように極限を表記し、全ての δy_i が 0 に近づく場合、どのように 0 に近づくかに依存する。

\operatorname {P} (X\in A\mid Y\in \bigcup _{i}[y_{i},y_{i}+\delta y_{i}])\approxeq {\frac {\sum _{i}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}{\sum _{i}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}}

独立性

→詳細は「独立 (確率論)」を参照

2つのランダムな事象 $A$ と $B$ は

\operatorname {P} (A\cap B)=\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)

のとき、またそのときに限り独立である。あるいは独立な事象 $A$ と $B$ については

\operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)

かつ

\operatorname {P} (B\mid A)=\operatorname {P} (B)

である。言い換えれば、 $A$ と $B$ が独立ならば、条件 $B$ の下での $A$ の条件付き確率は $A$ の周辺分布に等しく、また同様に条件 $A$ の下での $B$ の条件付き確率は $B$ の周辺確率に等しい。

排反性

2つの事象 $A, B$ の積事象 $A ⋂ B$ が空事象であることを、 $A$ と $B$ は互いに排反 (mutually exclusive) であるという。排反事象の積は空事象となるため、その積事象の確率はゼロである。つまり、空事象 $\emptyset$ についていつでも

\operatorname {P} (\varnothing )=0

であるから、

A\cap B=\varnothing \implies \operatorname {P} (A\cap B)=0

が成り立つ。したがって条件付き確率の定義より、事象 $A, B$ の（周辺）確率がゼロでない場合、 $A, B$ が排反するならば条件付き確率 $P (A | B)$ （および $P (B | A)$ ）はゼロとなる。

A\cap B=\varnothing \land \operatorname {P} (B)\neq 0\implies \operatorname {P} (A\mid B)={\frac {\operatorname {P} (A\cap B)}{\operatorname {P} (B)}}=0.

上述の通り排反事象の積の確率および条件付き確率はゼロとなるが、その逆は成り立たない。このことは確率ゼロの空でない事象の存在によって示される。例えば $[0, 1)$ の実数からランダムに1つを選ぶ場合、 $A = {x | x \leq 0.5}$ , $B = {x | x \geq 0.5}$ とすると積事象の確率は $P (A \cap B) = P ({x | x = 0.5}) = 0$ となるが（ $[0, 1)$ から $0.5$ 未満の数が、あるいは $0.5$ 以上の数が選ばれることはある程度期待できたとしても、選ばれた数が $0.5$ であることはほとんど確実に期待できない）、積事象自体は $A \cap B = {x | x = 0.5}$ であって空事象ではなく、したがって $A$ と $B$ は排反ではない。

その他

ある事象 $B$ に対して $P (B) \neq 0$ ならば、すべての事象 $A$ に対して、 $Q (A) = P (A | B)$ で定義される関数 $Q$ は確率測度である。
条件付き確率は決定木やベン図によりわかりやすく表示できる。

脚注

^ 西岡 2013, p. 44, §4.1 条件付き確率.
^ 伏見 1942, p. 63, 第II章確率論 8節公理系.
^ ラプラス 1997, p. 21, 第四原理.
^ JIS Z 8101-1 : 1999, 1.4 2次元分布関数.
^ JIS Z 8101-1 : 1999, 1.6 周辺分布.

参考文献

ラプラス, ピエール＝シモン『確率の哲学的試論』内井惣七訳、岩波書店〈岩波文庫〉、1997年。ISBN 978-4003392515。
西岡, 康夫『数学チュートリアルやさしく語る確率統計』オーム社、2013年。ISBN 9784274214073。
伏見, 康治『確率論及統計論』河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。
日本数学会編『数学辞典』岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090。
JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会

条件付き確率

定義

測度論的定義

独立性

排反性

その他

関連する概念とそれらの関係

同時確率

周辺確率

脚注

参考文献

関連項目