ツェラーの公式

ツェラーの公式（ツェラーのこうしき、英: Zeller's congruence、独: Zellers Kongruenz）とは西暦（グレゴリオ暦またはユリウス暦）の年・月・日から、その日が何曜日であるかを算出する公式である。ドイツの数学者クリスティアン・ツェラー (Christian Zeller) が考案した ^[1] ^[2] ^[3] ^[4] 。

ユリウス通日（あるいは特定の日からの通算日数）を求め、その剰余から曜日を求める計算と本質は同じである。

呼称および表記

Zeller's congruence は直訳すると「Zeller の合同式」といった意味になるが、日本では主に「Zeller の公式」と呼ばれ、またカタカナ表記はドイツ語読みで「ツェラーの公式」と記すのが一般的だが ^[5] 、英語読みで「ゼラーの公式」と表記されることもある ^[6] ^[7] 。

公式

$y$ 年 $m$ 月 $d$ 日の曜日を求める。

ただし、1月と2月は、前年のそれぞれ13月・14月として扱う。たとえば、2024年1月1日・2月1日は、2023年13月1日・14月1日とする。また、紀元前 ${\hat {y}}$ 年は西暦 $1-{\hat {y}}$ 年として扱う（天文学的紀年法）。たとえば、紀元前1年・前2年・前3年は、0年・－1年・－2年となる。

曜日	日	月	火	水	木	金	土
h	1	2	3	4	5	6	0

曜日 $h$ は次の式で求められる（ $h$ は、0～6で土曜日～金曜日を表す）：

h=\left(d+\left\lfloor {\frac {26(m+1)}{10}}\right\rfloor +Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor +{\mathit {\Gamma }}\right){\bmod {7}}

${\mathit {\Gamma }}$ はグレゴリオ暦 (Gregorian) かユリウス暦 (Julian) かで変わる項で、

{\mathit {\Gamma }}={\begin{cases}-2C+\left\lfloor {\frac {C}{4}}\right\rfloor &{\mbox{: Gregorian }}(1582\lessapprox y)\\-C+5&{\mbox{: Julian }}(4\lessapprox y\lessapprox 1582)\end{cases}}

ただし

C=\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor

Y=y{\bmod {1}}00

とする。

$\lfloor x\rfloor$ は $x$ を超えない（ $x$ 以下）の最大の整数（床関数）であり、 $x mod n$ は $x$ を $n$ で割った剰余である。 $C$ と $Y$ は、（西暦が4桁の場合）西暦の上2桁と下2桁を表す中間変数で、たとえば2024年なら、それぞれ20と24になる。

適用範囲

以上の2つの計算式は、それぞれの暦を過去または未来に単純に延長して使うのであれば、年数の有効範囲の限界はない（先発グレゴリオ暦、先発ユリウス暦を参照）。

しかし歴史上の実際の年月日についての曜日を知るには、グレゴリオ暦に切り替わった日付に注意が必要である（グレゴリオ暦#各国・各地域における導入を参照）。

さらに西暦4年 3月1日以前の実際の年月日についての曜日を知るには、閏年の規則そのものが異なるので（ユリウス暦#運用を参照）、上記の計算式におけるユリウス暦の公式も適用できない。

ISO 8601 との関係

曜日	日	月	火	水	木	金	土
h	1	2	3	4	5	6	0
D	7	1	2	3	4	5	6

日付の国際規格である ISO 8601が定める $D$ （1～7で月曜日～日曜日）を求めるには、次の式

D=\left(\left(d+\left\lfloor {\frac {26(m+1)}{10}}\right\rfloor +Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor +{\mathit {\Gamma }}+5\right){\bmod {7}}\right)+1

を使う。

コンピュータでの計算

コンピュータの多くの環境では負数の剰余を保証しないので（詳細は剰余演算を参照）、整数の合同関係を使って

{\mathit {\Gamma }}={\begin{cases}5C+\left\lfloor {\frac {C}{4}}\right\rfloor &{\mbox{: Gregorian }}(1582\lessapprox y)\\6C+5&{\mbox{: Julian }}(4\lessapprox y\lessapprox 1582)\end{cases}}

と変形する。

西暦0年（紀元前1年）3月1日以前に対する場合、 $C$ と $Y$ を求める式にも修正が必要である。グレゴリオ暦の場合には適度に大きい400の倍数、ユリウス暦の場合には28の倍数を $y$ に足して、負にならないようにする。

ツェラーの公式の導出

ツェラーの公式はフェアフィールド (Fairfield) の公式を変形して導出することもできる。以下に、グレゴリオ暦を例に、その変形過程を記載する。

フェアフィールドの公式

先発グレゴリオ暦の1年1月1日（0年13月1日）～ $y$ 年 $m$ 月 $d$ 日の日数 $N$ を求める。ただし1月と2月は、前述のように前年の13月・14月として扱う。

1年1月1日（0年13月1日）を含めた、 $y$ 年 $m$ 月 $d$ 日迄の日数は以下の通り。

1年1月1日（0年13月1日）～ 1年2月28日（0年14月28日）の日数：

31+28

1年3月1日～

( y - 1 )

年14月末日の閏日を除いた日数：

365(y-1)

1年1月1日（0年13月1日）～

( y - 1 )

年14月末日の閏年の回数（閏日の日数）：

\left\lfloor {\frac {1+(y-1)}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {1+(y-1)}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {1+(y-1)}{400}}\right\rfloor

=\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor

y

年3月1日～

y

年

( m - 1 )

月末日の日数（以下表を参照）：

\left\lfloor {\frac {306(m+1)}{10}}\right\rfloor -122

y

年

m

月1日～

y

年

m

月

d

日の日数：

d


当月(m)	前月(m－1)	日数(Σ)	$\left\lfloor {\frac {306(m+1)}{10}}\right\rfloor -122$
3		0	0
4	3	31	31
5	4	61	61
6	5	92	92
7	6	122	122
8	7	153	153
9	8	184	184
10	9	214	214
11	10	245	245
12	11	275	275
13	12	306	306
14	13	337	337

　　※3月1日～ $( m － 1 )$ 月末日迄の日数と、 $\left\lfloor {\frac {306(m+1)}{10}}\right\rfloor -122$ の値は完全に一致している。

従って、1年1月1日～ $y$ 年 $m$ 月 $d$ 日の日数 $N$ は、上記全てを合算した

N=31+28+365(y-1)+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {306(m+1)}{10}}\right\rfloor -122+d

となり、これを整理した

N=365y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {306(m+1)}{10}}\right\rfloor +d-428

【※】

がフェアフィールドの公式である。

ツェラーの公式の導出

曜日は７日間で循環しているので、上記【※】式の 7 の剰余を求めることで、曜日が判明する。即ち、

h'=\left(365y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {306(m+1)}{10}}\right\rfloor +d-428\right){\bmod {7}}

【I】

である。

このとき、 $h'$ のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日、土曜日を表す。

（現行のグレゴリオ暦は、1582年10月15日に、この日を金曜日であるとして施行されたがこの日を起点に、遡ってグレゴリオ暦を適用すると、1年1月1日は月曜日となるため $h'$ の値が表す曜日がこのような並びになる）

【I】式が 7 の剰余である事を利用すると、以下の通り変形できる。

{\begin{array}{lcl}h'&=&\left(7(52y-62)+y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {153(m+1)}{5}}\right\rfloor +6+d\right){\bmod {7}}\\&=&\left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {153(m+1)}{5}}\right\rfloor +6+d\right){\bmod {7}}\end{array}}

ここで、床関数の性質（ $\lfloor a\rfloor +b=\lfloor a+b\rfloor$ , ただし $b$ は整数）を利用すると、

{\begin{array}{lcl}h'&=&\left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {153(m+1)}{5}}+6\right\rfloor +d\right){\bmod {7}}\\&=&\left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {153m+153+30}{5}}\right\rfloor +d\right){\bmod {7}}\\&=&\left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {153m+183}{5}}\right\rfloor +d\right){\bmod {7}}\\&=&\left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {35(4m+5)+13m+8}{5}}\right\rfloor +d\right){\bmod {7}}\\&=&\left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor 7(4m+5)+{\frac {13m+8}{5}}\right\rfloor +d\right){\bmod {7}}\end{array}}

さらに、 $h'$ が 7 の剰余であることを利用して、

h'=\left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {13m+8}{5}}\right\rfloor +d\right){\bmod {7}}

と変形できる。

$y = 100C + Y$ ( $0 ≦ Y ≦ 99$ , $C$ , $Y$ は整数)と置くと、以下の通り変形される。

{\begin{array}{lcl}h'&=&\left(100C+Y+\left\lfloor {\frac {100C+Y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {100C+Y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {100C+Y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {13m+8}{5}}\right\rfloor +d\right){\bmod {7}}\\&=&\left(100C+Y+\left\lfloor 25C+{\frac {Y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor C+{\frac {Y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {C}{4}}+{\frac {Y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26m+26}{10}}-1\right\rfloor +d\right){\bmod {7}}\\&=&\left(100C+Y+\left\lfloor 25C+{\frac {Y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor C+{\frac {Y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {C}{4}}+{\frac {Y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26m+26}{10}}\right\rfloor -1+d\right){\bmod {7}}\\&=&\left(100C+Y+25C+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor -C-\left\lfloor {\frac {Y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {C}{4}}+{\frac {Y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26m+26}{10}}\right\rfloor +d-1\right){\bmod {7}}\\&=&\left(124C+Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {Y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {C}{4}}+{\frac {Y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26m+26}{10}}\right\rfloor +d-1\right){\bmod {7}}\\&=&\left(\left(7\times 18\right)C-2C+Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {Y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {C}{4}}+{\frac {Y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26m+26}{10}}\right\rfloor +d-1\right){\bmod {7}}\end{array}}

$h'$ が 7 の剰余であることを利用して、

h'=\left(-2C+Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {Y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {C}{4}}+{\frac {Y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26m+26}{10}}\right\rfloor +d-1\right){\bmod {7}}

ここで、 $0 ≦ Y ≦ 99$ より、 $0 ≦ .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}Y/100 ≦ 0.99$ , $0 ≦ Y / 400 ≦ 0.2475$ であり、

\left\lfloor {\frac {Y}{100}}\right\rfloor =0

また、 $C / 4$ の小数部分は、0, 0.25, 0.5, 0.75 の何れかの値を取る為、 $C / 4 + Y / 400$ の小数部分は、高々 $0.75 + 0.2475 = 0.9975$ であり、

\left\lfloor {\frac {C}{4}}+{\frac {Y}{400}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {C}{4}}\right\rfloor

としてよい。よって、

h'=\left(-2C+Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {C}{4}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26m+26}{10}}\right\rfloor +d-1\right){\bmod {7}}

このとき、 $h'$ のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日、土曜日を表す（【I】式の場合と同様）。

演算（項）数を減らすためこの式の被除数に 1 加算すると

h=\left(-2C+Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {C}{4}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26(m+1)}{10}}\right\rfloor +d\right){\bmod {7}}

となり、ツェラーの公式が導出できる。

このとき、 $h$ のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に土曜日、日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日を表す（被除数に 1 加算しているため【I】式の場合と比べ、１日分のずれが生じた）。

脚注

[脚注の使い方]

出典

^ Zeller, Christian (1882) (ドイツ語), Die Grundaufgaben der Kalenderrechnung auf neue und vereinfachte Weise gelöst, V, Württembergische Vierteljahrshefte für Landesgeschichte, pp. 313-314, doi:10.53458/wvjh.v5i.14389
^ Zeller, Christian (1883) (ラテン語), Problema duplex Calendarii fundamentale, 11, Bulletin de la Société Mathématique de France, pp. 59-61, doi:10.24033/bsmf.254
^ Zeller, Christian (1885) (ドイツ語), Kalender-Formeln, 1, Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen des mathematisch-naturwissenschaftlichen Vereins in Württemberg, pp. 54-58
^ Zeller, Christian (1886/1887) (ドイツ語), Kalender-Formeln, 9, Acta Mathematica, pp. 131-136, doi:10.1007/BF02406733
^ 細井勉; 嶋田君枝『PASCALによるプログラミング入門』産業図書、1981年、175頁。doi:10.11501/12631695。
^ 小林光夫; 荒井嘉夫『Pascal ABC : マイコンとの対話』広済堂出版、1980年5月、117頁。doi:10.11501/12631596。
^ 藤村幸三郎; 田村三郎『数学歴史パズル : 数学者も頭をひねった75問 (ブルーバックス)』講談社、1985年1月、211頁。doi:10.11501/12608305。ISBN 4-06-118192-0。

外部リンク

ドイツ語版ウィキソースに本記事に関連した原文があります："Kalender-Formeln" 1886/1887
Mainly on Zeller's algorithms

[1] Zeller, Christian (1882) (ドイツ語), Die Grundaufgaben der Kalenderrechnung auf neue und vereinfachte Weise gelöst, V, Württembergische Vierteljahrshefte für Landesgeschichte, pp. 313-314, doi:10.53458/wvjh.v5i.14389

[2] Zeller, Christian (1883) (ラテン語), Problema duplex Calendarii fundamentale, 11, Bulletin de la Société Mathématique de France, pp. 59-61, doi:10.24033/bsmf.254

[3] Zeller, Christian (1885) (ドイツ語), Kalender-Formeln, 1, Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen des mathematisch-naturwissenschaftlichen Vereins in Württemberg, pp. 54-58

[4] Zeller, Christian (1886/1887) (ドイツ語), Kalender-Formeln, 9, Acta Mathematica, pp. 131-136, doi:10.1007/BF02406733

[5] 細井勉; 嶋田君枝『PASCALによるプログラミング入門』産業図書、1981年、175頁。doi:10.11501/12631695。

[6] 小林光夫; 荒井嘉夫『Pascal ABC : マイコンとの対話』広済堂出版、1980年5月、117頁。doi:10.11501/12631596。

[7] 藤村幸三郎; 田村三郎『数学歴史パズル : 数学者も頭をひねった75問 (ブルーバックス)』講談社、1985年1月、211頁。doi:10.11501/12608305。ISBN 4-06-118192-0。

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]