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リスク中立確率 （リスクちゅうりつかくりつ、英 : risk-neutral probability ）とは、金融経済学 や数理ファイナンス 、金融工学 などにおいて、金融資産 の理論的な価格を決定するために用いられる仮想上の確率 である。確率測度 であることを強調して、リスク中立確率測度 （英 : risk-neutral probability measure ）やリスク中立測度 （英 : risk-neutral measure ）と呼ばれたり、またその数学的特性から同値マルチンゲール測度 （英 : equivalent martingale measure ）と呼ばれることもある。リスク中立確率の下では全ての資産価格が（局所）マルチンゲール となる。多くの資産価格理論において中核的な役割を果たしており、確率的割引ファクター や無裁定価格理論 などとも深く関連する重要な概念である。
リスク中立確率とは資産価格がマルチンゲール となるような仮想上の確率を指す。確率空間
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
P
~
{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}}
確率測度 を言う[ 1]
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
P
~
{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}}
絶対連続 ）である。任意の金融資産の価格とそのインカム・ゲイン の和を安全資産 の利子率で割り引いたものはリスク中立確率測度
P
~
{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}}
例えば、離散時間モデルの場合、任意の金融資産
i
{\displaystyle i}
p
i
,
t
{\displaystyle p_{i,t}}
[ 2] [ 3]
p
i
,
t
=
E
~
t
[
p
i
,
t
+
1
+
d
i
,
t
+
1
1
+
r
f
,
t
+
1
]
{\displaystyle p_{i,t}={\widetilde {E}}_{t}\left[{\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}\right]}
ここで
d
i
,
t
+
1
{\displaystyle d_{i,t+1}}
i
{\displaystyle i}
t
+
1
{\displaystyle t+1}
r
f
,
t
+
1
{\displaystyle r_{\mathrm {f} ,t+1}}
E
~
t
{\displaystyle {\widetilde {E}}_{t}}
P
~
{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}}
t
{\displaystyle t}
条件付き期待値 である。
連続時間モデルの場合は、インカム・ゲインの確率過程 が区分的に連続ならば、次のような方程式が成立する。
p
i
,
t
=
E
~
t
[
∫
0
s
exp
{
−
∫
0
u
r
f
,
t
+
v
d
v
}
d
i
,
t
+
u
d
u
+
exp
{
−
∫
0
s
r
f
,
t
+
u
d
u
}
p
i
,
t
+
s
]
{\displaystyle p_{i,t}={\widetilde {E}}_{t}\left[\int _{0}^{s}\exp \left\{-\int _{0}^{u}r_{\mathrm {f} ,t+v}dv\right\}d_{i,t+u}du+\exp \left\{-\int _{0}^{s}r_{\mathrm {f} ,t+u}du\right\}p_{i,t+s}\right]}
ただし、ここでの安全資産の利子率
r
f
,
t
{\displaystyle r_{\mathrm {f} ,t}}
リスク中立確率測度は確率的割引ファクター の別表現とも言える。ここでは離散時間の場合について考えるが、連続時間においても同じ結論が成立する。リスク中立確率測度
P
~
{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}}
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
ラドン＝ニコディム微分
d
P
~
/
d
P
{\displaystyle d{\widetilde {\mathbb {P} }}/d\mathbb {P} }
p
i
,
t
=
E
~
t
[
p
i
,
t
+
1
+
d
i
,
t
+
1
1
+
r
f
,
t
+
1
]
=
E
t
[
p
i
,
t
+
1
+
d
i
,
t
+
1
1
+
r
f
,
t
+
1
d
P
~
d
P
]
{\displaystyle p_{i,t}={\widetilde {E}}_{t}\left[{\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}\right]=E_{t}\left[{\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}{\frac {d{\widetilde {\mathbb {P} }}}{d\mathbb {P} }}\right]}
が成り立つ。ここで
m
t
+
1
=
1
1
+
r
f
,
t
+
1
d
P
~
d
P
{\displaystyle m_{t+1}={\frac {1}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}{\frac {d{\widetilde {\mathbb {P} }}}{d\mathbb {P} }}}
とすれば、
p
i
,
t
=
E
t
[
m
t
+
1
(
p
i
,
t
+
1
+
d
i
,
t
+
1
)
]
{\displaystyle p_{i,t}=E_{t}\left[m_{t+1}(p_{i,t+1}+d_{i,t+1})\right]}
となる。よって
m
t
+
1
{\displaystyle m_{t+1}}
アセットプライシングの基本定理 とは、リスク中立確率の存在や一意性についての必要十分条件 を与える定理である。ファイナンスの基本定理と呼ばれることもある。金融市場の数学的定式化の違いにより定理の内容が若干異なるが[ 4] [ 5]
アセットプライシングの第1基本定理 金融市場に裁定取引 が存在しない必要十分条件は少なくとも1つ以上のリスク中立確率が存在することである。
アセットプライシングの第2基本定理 金融市場に裁定取引が存在しないと仮定する。この時、金融市場が完備 である必要十分条件はリスク中立確率が一意に定まることである。
^ Shreve & (2004) , p. 228^ Dybvig and Ross & (2003) , p. 616^ Cochrane & (2005) , p. 51^ Shreve & (2004) , pp. 224–234^ Dybvig and Ross & (2003) , p. 614
Cochrane, John H. (2005), Asset Pricing (2 ed.), Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 9780691121376 Dybvig, Philip H.; Ross, Stephen A. (2003), “Arbitrage, state prices and portfolio theory”, in Constantinides, George M.; Harris, Milton; Stulz, René M., Handbook of the Economics of Finance 1 , Elsevier, pp. 605-637, doi :10.1016/S1574-0102(03)01019-7 , ISBN 9780444513632 Shreve, Steven E. (2004), Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models , New York: Springer, ISBN 9780387401010 
![{\displaystyle p_{i,t}={\widetilde {E}}_{t}\left[{\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75814c47406663150e41df654843df8a86d0797)
![{\displaystyle p_{i,t}={\widetilde {E}}_{t}\left[\int _{0}^{s}\exp \left\{-\int _{0}^{u}r_{\mathrm {f} ,t+v}dv\right\}d_{i,t+u}du+\exp \left\{-\int _{0}^{s}r_{\mathrm {f} ,t+u}du\right\}p_{i,t+s}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc8d0f526555681ca0423fd603a1474e19fecd6)
![{\displaystyle p_{i,t}={\widetilde {E}}_{t}\left[{\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}\right]=E_{t}\left[{\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}{\frac {d{\widetilde {\mathbb {P} }}}{d\mathbb {P} }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e2ea106b0561ddb597adab2a1f93856ef2f597)
![{\displaystyle p_{i,t}=E_{t}\left[m_{t+1}(p_{i,t+1}+d_{i,t+1})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb0720706f728d5fd4ec2076808d869278692cc)
