反傾表現

$G$ が群で、$\rho$ がベクトル空間 $V$ 上の $G$ の線型表現であるとき、反傾表現（はんけいひょうげん、英: contragredient representation）あるいは双対表現（そうついひょうげん、英: dual representation）$\rho ^{*}$ は以下のようにして双対ベクトル空間 $V^{*}$ 上定義される：

$\rho ^{*}(g)$ は $\rho \left(g^{-1}\right)$ の転置である、つまり、すべての $g\in G$ に対して $\rho ^{*}(g)=\rho \left(g^{-1}\right)^{T}$ である。

${\mathfrak {g}}$ がリー環で $\pi$ がベクトル空間 $V$ 上のその表現であれば、反傾表現 $\pi ^{*}$ は以下のようにして双対ベクトル空間 $V^{*}$ 上定義される：

すべての $X\in {\mathfrak {g}}$ に対して $\pi ^{*}(X)=-\pi (X)^{T}$ である。

いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。

ユニタリ表現に対しては、反傾表現は共役表現と等しい。

動機付け

表現論において、$V$ のベクトルと $V^{*}$ の線型汎関数はいずれも列ベクトルと考え、したがって表現は左から（行列の乗法によって）作用できる。線型汎関数 $\varphi$ の $v\in V$ への作用 $\varphi (v)$ は行列の乗法

$\left\langle \varphi ,v\right\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v$

によって表現できる。ただし上付きの $T$ は行列の転置を表す。群$G$の作用と整合的であるためには

$\left\langle \rho ^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \varphi ,v\right\rangle$

が要求される。反傾表現の定義から、

$\left\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left(\rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi \right)^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho \left(g^{-1}\right)\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\left\langle \varphi ,v\right\rangle$

となり、整合性を持つことが確かめられる。

リー環の表現に対しては、対応するリー群の表現との整合性を課す。一般に、$\Pi$ がリー群の表現であれば、

$\pi (X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}$

によって与えられる $\pi$ はそのリー環の表現である。$\Pi ^{*}$ が $\Pi$ に双対であれば、その対応するリー環の表現 $\pi ^{*}$ は、

$\pi ^{*}(X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}\left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{-tX}\right)^{T}\right|_{t=0}=-\pi (X)^{T}$

で与えられる。

一般化

• 群 $G$ の2つの表現 $\left(\rho _{1},V_{1}\right)$ と $\left(\rho _{2},V_{2}\right)$ から、次のようにして $\operatorname {Hom} \left(V_{1},V_{2}\right)$ 上の $G$ の表現 $\operatorname {Hom} \left(\rho _{1},\rho _{2}\right)=\rho$ が定義される：

すべての $g\in G$ とすべての $f\in \operatorname {Hom} \left(V_{1},V_{2}\right)$ に対して、$\rho (g)(f)=\rho _{2}(g)\circ f\circ \rho _{1}\left(g^{-1}\right)$。

反傾表現は、$\left(\rho _{2},V_{2}\right)$ が自明表現の場合である。

• 環上の加群は一般には反傾表現を持たないが、ホップ代数上の加群は持つ。

関連項目

• 複素共役表現
• キリロフの指標公式