利用者:Flightbridge/sandbox/テトレーション

[@[Image:TetrationComplexColor.png|thumb|border|||268px|||正則テトレーション $z e$ を複素平面上にプロットしたもの。]]

拡張

高さが無限大

テトレーション・フラクタル

[@[Image:Tetration period.png|thumbnail|収束または振動する点]][@[Image:Tetration escape.png|thumbnail|発散する点]]

$n\rightarrow \infty$ のとき ${}^{n}z$ が発散しない（収束または振動する）複素数 $z$ を複素平面上にプロットすると、テトレーション・フラクタルと呼ばれるフラクタル図形が現れる。

ガイスラーは幾つかの特徴的な形に対して次のような名前を与えた。^[1]

擬似円（pseudocircle）：
z = 0 付近の周期 2 の領域。
再帰構造（recursive structure）：
z = -1 付近の図形。拡大すると再度同じ図形が現れる。
星（star）：
z = -2.5 付近を中心とする図形。
島（isle）：
z = -4.12 付近（図の左端）の小さな図形。

高さが実数

三つ目の条件は著者およびアプローチによって異なる。実数高さへの拡張には二つの主要なアプローチが存在し、一つは正則性、もう一つは微分可能性に基づいたものである。ただし $a$ が $e 1/ e$ に上から近づくにつれ変曲点 $x I$ が無限大へと発散するため、上の正則性が満たされるのは $a\gtrapprox 2$ の場合に限る。

従って、上の正則性条件に代わるものとして次が考えられる。

正則性（ $x$ についての二階連続微分可能性を含む）
- $e 1/ e < a$ のとき、 ${\dfrac {{\mathrm {d} }^{2}}{{\mathrm {d} }x^{2}}}f(x_{I})=0$ を満たす $x I$ がただ一つ存在する。
- $1 < a \leq e 1/ e$ のとき、任意の $x > -2$ について ${\dfrac {{\mathrm {d} }^{2}}{{\mathrm {d} }x^{2}}}f(x)<0$ が成り立つ。

この条件において $x I$ は、 $a$ が $e 1/ e$ に上から近づくとき狭義単調増加でなければならない。また $x I$ は漸近的に

\lim _{a\to e^{1/e}}x_{I}{\sqrt {a-e^{1/e}}}=1.618\ldots

を満たす。

長さ $1$ の（半開）区間で $x a$ が定義されれば、任意の $x > -2$ に対して関数が一意に定まる。

より高次の近似

$a = e$ のときの三次近似は次のようになる。

{}^{x}e\approx {\begin{cases}\log _{e}({}^{x+1}e)&x\leq -1\\1+\left(1-{\frac {C}{3}}\right)x-Cx^{2}-{\frac {2}{3}}Cx^{3}&-1<x\leq 0&,\quad C=6{\sqrt {6}}-15=-0.30306\ldots \\e^{\left({}^{x-1}e\right)}&0<x\end{cases}}

これは任意の $x > -2$ について二階連続微分可能であり、また区間 $[-1, 0]$ においては一意となる。Its only point of inflection is at $-1/2$ for all x.

To get a polynomial approximation for given $a>e^{1/e}$ for ${}^{x}a$ with expected low average error, one should try to approximate on the interval $[n,n+1]$ of length 1 where ${}^{n+1}a-{}^{n}a$ is minimal — this is very important for low degree approximation as we just have considered. This interval should contain the inflection point of the approximation, resp. the sign of the 2nd differences $^{n+1}a-2\cdot {}^{n}a+^{n-1}a$ changes.

高さが複素数

漸近的挙動

対数関数を反復すると不動点 $L,~L^{*}$ へ指数的に収束する。これは指数的な漸近的挙動に対応する。

F(z)=L+\varepsilon (z)+o\left(\varepsilon (z)^{2}\right)

ここで

\varepsilon (z)=\exp \left(Qz+r\right)

であり、 $Q,r$ は複素数の定数である。

未解決問題

$n π$ , $n e$ が整数になるような正の整数 $n$ は存在するか。特に $4 π$ は整数か。
与えられた正の整数 $n$ と正の（整数でない）有理数 $q$ に対し、 $n q$ は整数か。^[2] 特に $4 x = 2$ の正の解 $x$ は有理数か。

逆関係

冪は冪根と対数の二つの逆関係を持つ。これに倣って、テトレーションの逆関係をそれぞれ超冪根（英: super-root）と超対数（英: super-logarithm）と呼ぶ。

超冪根

超冪根とはテトレーションの底に関する逆関係である。

$n y = x$ のとき、 $y$ を $x$ の $n$ 次の超冪根という。例えば

{^{4}2}=2^{2^{2^{2}}}=65536

であるから、 $2$ は $65536$ の四次の超冪根であり、また

^{3}3=3^{3^{3}}=7625597484987

であるから、 $3$ は $7625597484987$ の三次の超冪根である。

超平方根

[@[Image:The graph y = √x(s).png|thumb|right| $y = \sqrt x s$ のグラフ。]] 超平方根（英: super square root）とは $2 x$ の逆であり、二つの等価な表記 $ssrt(x)$ , $\sqrt x s$ を持つ。

この関数は次のようなランベルトのW関数による表示を持つ。^[3]

\mathrm {ssrt} (x)=e^{W(\mathrm {ln} (x))}={\frac {\mathrm {ln} (x)}{W(\mathrm {ln} (x))}}

またこの関数により、冪根と対数の間の鏡映的な関係が表れる。次の方程式は $y = ssrt x$ のときに真となる。

{\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x

平方根と同様に超平方根は一つとは限らない。ただし、平方根と異なり超平方根の個数を決定するのは容易とは言えない。一般に、 $e -1/ e < x < 1$ のとき $x$ は二つの正の超平方根を 0 と 1 の間に持ち、 $1 < x$ のとき $x$ は 1 より大きい一つの正の超平方根を持ち、 $0 < x < e -1/ e$ のとき $x$ は超平方根を実数の範囲で持たない。しかし上の式より、任意の $x (\neq 1)$ は可算無限個の超平方根を複素数の範囲で持つことが従う。^[3]

超平方根はネットワークのクラスタサイズを決定するのに使用される。^[4]

その他の超冪根

任意の整数 $n > 2$ に対して $n x$ は定義され、 $x \geq 1$ のとき増加となり $n 1 = 1$ を満たす。従って $x \geq 1$ のとき $n \sqrt x s$ は存在する。しかし上述した一次近似を用いた場合、 $-1 < y \leq 0$ のとき $y x$ は $x$ によらず $y + 1$ となり、従ってこの場合 $x = y \sqrt y + 1 s$ は存在しない。

超平方根のほか $n$ 次の超冪根も同様の記号を用いて $n \sqrt x s$ と表すことができる。

超冪根は高さが無限大の場合へと拡張することができ、これは $1/ e \leq x \leq e$ の場合に限り問題なく定義される（#高さが無限大を参照）。 $\infty x$ が存在するとき $\infty x = x \infty x$ が成り立つことから、無限次の超冪根は初等関数によって $\infty \sqrt x s = x 1/ x$ と表すことができる。例えば $\infty \sqrt 2 s = 2 1/2 = \sqrt 2$ となる。

$n$ を任意の正の整数とするとゲルフォント＝シュナイダーの定理より、超平方根 $\sqrt n s$ は整数または超越数となり、超立方根 $3 \sqrt n s$ は整数または無理数（これが超越数かどうかは知られていない）となる。

超対数

超対数とはテトレーションの高さに関する逆関係である。

テトレーション $x a$ を $x$ に関して連続的に増加するものとして定義すると、任意の実数 $x$ に対し超対数 $slog a x (a > 1)$ が定義される。

この関数 $slog a x$ は以下の式を満たす。

{\begin{array}{lcl}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=&x\\\operatorname {slog} _{a}a^{x}&=&1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&=&1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&>&-2\end{array}}

脚注

外部リンク

[1] Atlas of Tetration (Tetration.org)

[condor.depaul.edu-2] Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form a^a with a irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106-109.

[Corless-3] Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. (1996). “On the Lambert W function” (PostScript). Advances in Computational Mathematics 5: 333. doi:10.1007/BF02124750.

[4] BOSTON UNIVERSITY COLLEGE OF ENGINEERING – EFFICIENT SELF-ORGANIZATION OF LARGE WIRELESS SENSOR NETWORKS

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