倍数

数学において、数 $a$ の倍数（ばいすう、英:multiple）とは、 $a$ を整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、

\dots -3 a, -2 a, - a, 0, a, 2 a, 3 a, \dots

を指す。 $a \neq 0$ ならば、 $a$ の倍数は無数に存在する。

$a$ を整数に限ると、 $a$ の倍数とは「 $a$ で割り切れる整数」のことであり、 $a$ の約数（「 $a$ を割り切る整数」）と対比されることも多いが、倍数は $a$ が整数でなくても定義できる。

倍数の中で $0$ 以外は符号の違いだけの組が現れるので、

0, \pm a, \pm2 a, \pm3 a, \dots

と表すこともある。とくに $a$ が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は（正の）倍数として

a, 2 a, 3 a, \dots

だけを考えることも多い。

整数全体からなる集合 $\mathbb {Z}$ を用いると、 $a$ の倍数は $a\mathbb {Z}$ である。

例

整数の倍数
番号	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10
01の倍数	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10
02の倍数	02	04	06	08	10	12	14	16	18	20
03の倍数	03	06	09	12	15	18	21	24	27	30
04の倍数	04	08	12	16	20	24	28	32	36	40
05の倍数	05	10	15	20	25	30	35	40	45	50
06の倍数	06	12	18	24	30	36	42	48	54	60
07の倍数	07	14	21	28	35	42	49	56	63	70
08の倍数	08	16	24	32	40	48	56	64	72	80
09の倍数	09	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10の倍数	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

2 の倍数は 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, ±18, ±20, …
- 偶数に等しい。
$3$ の倍数は $0, \pm3, \pm6, \pm9, \pm12, \dots$
12 は 1, 2, 3, 4, 6, 12 のいずれの倍数でもある。
- $12$ の正の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 12$ であることによる。

→「九九」も参照

数学的性質

整数に関する性質

$0$ だけ倍数の個数が有限（ $0$ のみ）である。（したがって $0$ の倍数を考えることはあまり意味がない）
$0$ は全ての数の倍数である。
全ての数は自分自身の倍数である。
全ての整数は $1$ と $-1$ の倍数である。
偶数とは $2$ の倍数のことである。偶数は「2つの等しい整数の和で表せる数」とも定義できるが、この定義は $2$ の倍数であることと同値である。
$a$ が整数のとき、 $N$ が $a$ の倍数であることは、 $a$ が $N$ の約数であることと同じ意味である。
整数 $a$ , $b$ に対して、 $b$ が $a$ で割り切れることと、 $b$ の倍数が $a$ の倍数に含まれることは同値である。すなわち、

a\mid b\Leftrightarrow b\mathbb {Z} \subset a\mathbb {Z}

$2$ 以上の整数はある素数の倍数である。
素数の倍数全体は、 $\pm1$ 以外の整数全体に等しい。

（→素数が無数に存在することの証明#フュルステンベルグ）

a の倍数かつ b の倍数であるものを a と b の公倍数という（3個以上の場合でも同様）。ab は a と b の公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数という。
- $a$ と $b$ の公倍数は $a$ と $b$ の最小公倍数の倍数である。
$a$ の倍数の倍数は $a$ の倍数である。
P, Q が共に a の倍数ならば、kP + lQ（k, l は整数）は共に a の倍数である。
- 特に、 $P \pm Q$ は $a$ の倍数である
有理整数環 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ で二項関係を $x-y\in a\mathbb {Z}$ $x-y\in a\mathbb {Z}$ で定義すると、これは同値関係になる。
- その商集合 $\mathbb {Z} /a\mathbb {Z}$ は加法に関するアーベル群である。（→同値関係#商集合の例）

整除性の判定法

整除性の判定法^[1]（せいじょせいのはんていほう, 英: divisibility rule, 仏: critère de divisibilité, 露: признаки делимости, 中: 整除规则）は、ある整数を別の整数で割った商が整数となるか（余りがゼロであるか）を、割り算を直接実行することなく判別する裏技である。倍数の判定法ともいう^[2]。

様々なN進法における倍数判定の方法として、以下の方法が挙げられる。

一の位の数で判定: 一の位がMであればMの倍数、という方法。
各桁の和（数字和）で判定: 一桁の最後の数（10-1）の倍数は、各桁の和が10-1に収まれば10-1の倍数、という方法。六進数での5の倍数、九進数での（2、4、）8の倍数、十進数での（3、）9の倍数、十六進数での（3、5、）15の倍数、二十五進数の（2、3、4、6、8、12）24の倍数など。
下P桁で判定: 下二桁がabであればMの倍数、下三桁がabcであればMの倍数…、という方法。
11が合成数の場合: 11となる数が合成数の場合、二桁数abがあれば a-b または b-a の差が11の約数Mになっている場合に、Mの倍数となる、という方法。例：八進数での9（= 11₈）の倍数（3² = 11）、二十進数での3の倍数と7の倍数（3×7 = 11）、三十二進数での3の倍数と11の倍数（33 = 11）など。
一の位をa倍: 乗算表の二桁数abから逆算して、一の位bをa倍する方法。十進数における7の倍数（7×3 = 21）、十二進数における5の倍数（5×5 = 21）、十六進数における11の倍数（3×B ＝ 21）、四十進数における3³ の倍数（3×3×3×3 ＝ 21）など。; 乗算表の最後の数｛(10-1)² = a1｝の場合は、一の位をa倍して、「整数第二位以上」と「一の位をa倍」の差をa1で割って余りが0になればa1の倍数、という方法。十進数での3⁴ = 81の倍数など。
「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算: 「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算し、その和をMで割って余りが0ならばMの倍数、という方法。六進数での15（11₁₀）の倍数、十進数での3⁵ = 243 の倍数など。

素因数が複数になる場合には、上記の倍数判定方法を組み合わせることになる。

とりわけ、六進数と十進数では、素因数に2, 3, 5が含まれる倍数の判定が容易である。これは、六進数では10 = 2×3 = 5+1 となり、十進数では 10 = 2×5 = 3²+1 となり、"10"の素因数と"10-1"の素因数に2, 3, 5のどれかが含まれているからである（その上に10の素因数も複数ある）。例えば、2³×3²×5 = 1400₍₆₎ = 360₍₁₀₎の倍数も、六進数だと「下三桁が200, 400, 000のどれかで、各桁の和が5の倍数」で計3種類（1400, 3200, 5000, 10400…）、十進数だと「一の位が0、整数第二位～第三位で4の倍数が現れ、各桁の和が9の倍数」で計25₁₀種類（360, 720, 1080, 1440,1800,2160,2520…）となる。

十進数での例

十進数での倍数判定法がいくつか存在する。

1 - 9
割る数 M	整除性の判定法（倍数の判定法）	具体例・備考	Mの倍数一覧 000(OEIS)000
1	任意の整数は1で割り切れる
2	最後の桁が偶数（0、2、4、6、8）ならば2で割り切れる	1294：最後の桁4は偶数である。割り算を実行してみれば分かるが、1294は2で割り切れる^[3]	The nonnegative even numbers: a(n) = 2n. (A005843)
3	各桁の数を合計したものが3で割り切れれば、3で割り切れる	405の場合、4+0+5=9、これは3で割り切れるから405は3で割り切れる^[3]	a(n) = 3*n. (A008585)
3	各桁に現れる1, 4, 7の数を数える。次に各桁に現れる2, 5, 8の数を数える。両者の差が0ならば3で割り切れる	16,499,205,854,376：1, 4, 7は合計4回現れる。2, 5, 8は合計4回現れる。4-4= 0、∴3で割り切れる	a(n) = 3*n. (A008585)
4	最後の2桁が4で割り切れれば4の倍数である	40,832：最後の2桁である32が4で割り切れる^[3]	Multiples of 4. (A008586)
	10の位が偶数の場合、1の位が0, 4, 8 10の位が奇数の場合、1の位が2, 6ならば4の倍数である	40,832：10の位の3は奇数で、1の位が2である
	10の位に2を掛け、それに1の位を加える。それが4で割り切れればもとの数は4の倍数である	40832：2×3 + 2 = 8、これは4で割り切れるから40832は4の倍数
5	1の位が0または5	^[3]	Multiples of 5: a(n) = 5 * n. (A008587)
6	2と3で同時に割り切れる	1458：1 + 4 + 5 + 8 = 18、∴3で割り切れる。最後の桁2は偶数であるから2で割り切れ、よって6で割り切れる^[4]	Nonnegative multiples of 6. (A008588)
6	10の位より上の数に4を掛け、1の位の数を加える。この操作を1桁になるまで続け、それが6で割り切れればもとの数は6の倍数である	354: 35 × 4 + 4 = 144，14 × 4 + 4 = 60，6 × 4 + 0 = 24，2 × 4 + 4 = 12，1 × 4 + 2 = 6，よって354は6の倍数	Nonnegative multiples of 6. (A008588)
7	下から3桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、下から偶数番目の区分は-1倍して合計する。これが7で割り切れれば7の倍数	1,369,851：851 − 369 + 1 = 483、これは7で割り切れる。よって1,369,851は7の倍数^[4]	Multiples of 7. (A008589)
	下から6桁ごとに区分する。各区分を合計する。これが7で割り切れれば7の倍数	16,498,888：16 + 498888 = 498904、これは7で割り切れる。以下略
	1の位に2を掛ける。10以上の位からそれを引く。結果が7で割り切れれば7の倍数	483：48 −（3×2）= 42、7で割り切れる。
	1の位に5を掛け、10以上の位に加える。結果が7で割り切れれば7の倍数	483：48 + (3 × 5) = 63，7で割り切れる。
	最上位の桁の数に3を掛ける。それに上から2桁目の数を加える。こうして得られた数を上位2桁と置き換える。2桁になるまで続け、7の倍数に達したならもとの数は7の倍数	483：4×3 + 8 = '20'、20を48に置き換える。203：2×3 + 0 = '6'、6を20に置き換えます。63：6×3 + 3 = 21、7で割り切れる
	下から数えて3桁以上の数に2を掛ける。これに下2桁を加える。2桁になるまで続け、7の倍数に達したならもとの数は7の倍数	483,595：95 +（2×4835）= 9765、65 +（2×97）= 259、59 +（2×2）= 63、7で割り切れる。
	（6, 12, 18…桁の数に有効）下の桁から順に1, 3, 2, -1, -3, -2を掛け（周期性あり）、合計する。得られた結果が7で割り切れれば、7の倍数	483,595：(4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7，7で割り切れる
8	100の位が偶数の場合、下2桁が8で割り切れれば8の倍数		Multiples of 8. (A008590)
	100の位が奇数の場合、下2桁に4を加えて8の倍数になればもとの数は8の倍数	352：100の位3は奇数で、下2桁の52に4を加えれば56、これは8で割り切れる
	下から数えて2桁以上の数に2を掛ける。これに下1桁を加えて8で割り切れれば8の倍数	56：（5×2）+ 6 = 16、8で割り切れる。
	下3桁が8で割り切れれば8の倍数	34,152：152は8で割り切れる^[5]
	100の位を4倍する。10の位を2倍する。これらの合計に1の位を加える。結果が8で割り切れれば8の倍数	34,152：1×4 + 5×2 + 2 = 16、8で割り切れる。
9	各桁の数を合計したものが9で割り切れれば9の倍数	2880：2 + 8 + 8 + 0 = 18：1 + 8 = 9、9で割り切れる^[3]	Multiples of 9: a(n) = 9*n. (A008591)

10 - 19
10	1の位が0ならば10の倍数	^[5]	Multiples of 10: a(n) = 10 * n. (A008592)
11	下から数えて奇数桁目は-1倍、偶数桁目は+1倍して合計する。結果が11で割り切れれば11の倍数	918,082：9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22、11で割り切れる^[3]	Multiples of 11. (A008593)
	下から2桁ごとに区分する。各区分の数を合計する。結果が11で割り切れれば11の倍数	627：6 + 27 = 33、11で割り切れる 50,215：5 + 02 + 15 = 22、11で割り切れる
	下から数えて2桁以上の数から下1桁を引く。結果が11で割り切れれば11の倍数	627：62 − 7 = 55、11で割り切れる。
	1の桁を10倍して10以上の桁の数に加える。2桁になるまで続ける。11の倍数に行きついたらもとの数は11の倍数	627：62 + 70 = 132：13 + 20 = 33、11で割り切れる。
	全体で偶数桁の場合、最初の桁から最後の桁を引く。それを残りの（中間の）桁に加える。2桁になるまで続ける。結果が11で割り切れれば11の倍数	918,082（6桁）→1808 +（9 − 2）= 1815、81 + 1 − 5 = 77、これは11で割り切れる。
	全体で奇数桁の場合、最初の桁と最後の桁を足す。それを残りの（中間の）桁から引く。2桁になるまで続ける。結果が11で割り切れれば11の倍数	14,179（5桁）→417 −（1 + 9）= 407、0-（4 + 7）= -11、11で割り切れる。
12	同時に3と4で割り切れれば12の倍数	^[4]	Multiples of 12. (A008594)
12	下から数えて2桁以上の数を2倍する。そこから下1桁を引く。それが12で割り切れれば12の倍数	288：28×2 − 8 = 48、12で割り切れる。	Multiples of 12. (A008594)
13	下から3桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が13で割り切れれば13の倍数	2,911,272：2-911 + 272 = -637、13で割り切れる^[4]	Multiples of 13. (A008595)
	下から6桁ごとに区分する。各区分の数を合計する。結果が13で割り切れれば13の倍数	161,480,059：161 + 480059 = 480220、これは13で割り切れる
	下1桁を4倍する。それを残りの桁に加え、13の倍数になればもとの数は13の倍数	637：63 + 7×4 = 91、9 + 1×4 = 13、13で割り切れる。
	100の位以上の数を4倍する、そこから下2桁を引く。結果が13で割り切れれば13の倍数	923：9×4-23 = 13、13で割り切れる。
	下1桁を9倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が13で割り切れれば13の倍数	637：63-7×9 = 0、13で割り切れる。
14	2と7で同時に割り切れる	^[4]	Multiples of 14. (A008596)
	下から数えて3桁以上の数を2倍する。それに下2桁を加える。結果が14で割り切れれば14の倍数	364：3×2 + 64 = 70 1764：17×2 + 64 = 98、どちらも14で割り切れる
	下から数えて2桁以上の数を4倍する。そこから下1桁を引く。結果が14で割り切れれば14の倍数	1358：135×4 − 8 = 532、14で割り切れる。
15	同時に3と5で割り切れる	^[4]	Multiples of 15. (A008597)
16	1000の位が偶数の場合、下3桁が16で割り切れれば16の倍数	254,176：1000の位の4は偶数。下3桁は176で、16で割り切れる	Multiples of 16. (A008598)
	1000の位が奇数の場合、下3桁に8を加えたものが16で割り切れれば16の倍数	3408：1000の位の3は奇数。下3桁は408。408 + 8 = 416で、16で割り切れる
	下から数えて3桁以上の数を4倍する。それの下2桁を加える。結果が16で割り切れれば16の倍数	1168：11×4 + 68 = 112、16で割り切れる
	下4桁が16で割り切れる	157,648：下4桁の7648は16で割り切れる^[5]
17	下1桁を5倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が17で割り切れれば17の倍数	221：22 −1×5 = 17、17で割り切れる。	Multiples of 17. (A008599)
	下から数えて3桁以上の数を2倍する。そこから下2桁を引く。結果が17で割り切れれば17の倍数	4,675：46×2-75 = 17、これは17で割り切れます。
	下から8桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が17で割り切れれば17の倍数	117,250,581：17250581-1 = 17250580、これは17で割り切れる
18	2と9で同時に割り切れる。		Multiples of 18. (A008600)
19	下1桁を2倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が19で割り切れれば19の倍数	437：43 + 7×2 = 57、19で割り切れる。	Multiples of 19. (A008601)
	下2桁に4を掛ける。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が19で割り切れれば19の倍数	6935：69 + 35×4 = 209、これは19で割り切れる
	下から9桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が19で割り切れれば19の倍数	1,232,228,318：232228318-1 = 232228317、これは19で割り切れる

20 - 29
20	1の位が0、10の位が偶数		Multiples of 20. (A008602)
21	同時に3と7で割り切れる。		Multiples of 21. (A008603)
21	下1桁を2倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が21で割り切れれば21の倍数	168：16 −8×2 = 0、21で割り切れる。	Multiples of 21. (A008603)
22	2と11で同時に割り切れる。		Multiples of 22. (A008604)
23	下1桁を7倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。繰り返して23の倍数に行きつけばもとの数は23で割り切れる	3128：312 + 8×7 = 368、36 + 8×7 = 92、これは23で割り切れる	Multiples of 23. (A008605)
	下2桁を3倍する。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が23で割り切れれば23の倍数	1725：17 + 25×3 = 92、これは23で割り切れる
	1の位の数を16倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が23で割り切れれば23の倍数	391: 39 - 16 = 23、よって391は23の倍数
	下から数えて2桁以上の数を下1桁の数で割る。結果が16ならば23の倍数	1449: 144/9 = 16、23の倍数
	下から11桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が23で割り切れれば23の倍数	167,788,290,564：67788290564-1 = 67788290563、これは23で割り切れる
24	同時に3と8で割り切れる。		Multiples of 24. (A008606)
24	下から数えて3桁以上の数を4倍する。それに下2桁を加える。結果が24で割り切れれば24の倍数	1632：16×4 + 32 = 96、24で割り切れる	Multiples of 24. (A008606)
25	下2桁が25の倍数（00、25、50、75）		Multiples of 25. (A008607)
26	2と13で同時に割り切れる。		Multiples of 26. (A252994)
27	下から3桁ごとに区分する。それらの区分を合計して27で割り切れれば27の倍数	2,644,272：2 + 644 + 272 = 918、これは27で割り切れます。	a(n) = 27*n. (A305548)
	下1桁を-1倍して下から2桁以上の位の数に加える。結果が27で割り切れれば27の倍数	621：62 −1×8 = 54、27で割り切れる。
	下2桁の-2倍を下から3桁以上の位の数に加える。結果が27で割り切れれば27の倍数	6507：65×8-7 = 513、27で割り切れる
28	同時に4と7で割り切れる。		Multiples of 28. (A135628)
29	下1桁に3を掛ける。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が29で割り切れれば29の倍数	493：49 + 3×3 = 58、29で割り切れる	Multiples of 29. (A195819)
29	下2桁を9倍する。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が29で割り切れれば29の倍数	5510：55 + 10×9 = 145、これは29で割り切れる	Multiples of 29. (A195819)

30 - 39
30	下1桁が0、その他の桁の数の合計が3で割り切れる	270：2 + 7 = 9, 3で割り切れる∴270は30の倍数	a(n) = 30*n. (A249674)
31	下1桁を最後3倍する。これを下から2桁以上の位の数字から引く。結果が31で割り切れれば31の倍数	341：34 −1×3 = 31、31で割り切れる。	Multiples of 31. (A135631)
31	下から4桁以上の位の数を8倍する。これに下3桁を加える。結果が31で割り切れれば31の倍数	18042：18×8 + 42 = 186、これは31で割り切れる	Multiples of 31. (A135631)
32	10000の位が偶数の場合、下4桁が32で割り切れる		32*n. (A174312)
	10000の位が奇数の場合、下4桁に16を加えたものが32で割り切れる	340,179,488：10000の位の7は奇数。9488 + 16 = 9504，これは32で割り切れる
	下から3桁以上の位の数に、下2桁の4倍を加える。これが32で割り切れれば32の倍数	1376：13 × 4 + 76 = 128，これは32で割り切れる
	下から4桁以上の位の数を8倍して下3桁を加える。結果が32で割り切れれば32の倍数	19584：19×8 + 584 = 736、これは32で割り切れます。
	下5桁が32の倍数
33	下から2桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計したものが33で割り切れる	169,257：16 + 92 + 57 = 165、これは33で割り切れる	（登録なし）
	同時に3と11で割り切れる。
	下1桁を10倍する。これを下から2桁以上の位の数に加える。結果が33で割り切れれば33の倍数	16104：1610 + 4×10 = 1650, 165 + 0×10 = 165, これは33で割り切れる
34	下から3桁以上の位の数を2倍する。そこから下2桁を引く。結果が34で割り切れれば34の倍数	2516：25×2 − 16 = 34、34で割り切れる。	（登録なし）
34	同時に2と17で割り切れる。		（登録なし）
35	下から3桁以上の位の数を5倍する。そこから下2桁を引く。結果が35で割り切れれば35の倍数	7455：74×5 − 55 = 315、35で割り切れる。	（登録なし）
36	下から3桁以上の位の数を8倍する。そこから下2桁を引く。結果が36で割り切れれば36の倍数	1512：15×8 − 12 = 108。36で割り切れる。	Multiples of 36. (A044102)
36	4と9で同時に割り切れる。		Multiples of 36. (A044102)
37	下から3桁以上の位の数を11倍する。そこから下2桁を引く。結果が37で割り切れれば37の倍数	68265：682×11 − 65 = 7437、37で割り切れる。	Multiples of 37. (A085959)
	下から3桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計する。それが37で割り切れれば37の倍数	728,395,061：728 + 395 + 61 = 1184、これは37で割り切れる
	下から2桁以上の位の数から下1桁の11倍を引く。結果が37で割り切れれば37の倍数	2294：229 −4×11 = 185、37で割り切れる。
38	2と19で同時に割り切れる。		（登録なし）
39	3と13で同時に割り切れる。		（登録なし）
	下から6桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計する。これが39で割り切れれば39の倍数	458,535,168：458 + 535168 = 535626、これは39で割り切れます。
	下1桁を4倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が39で割り切れれば39の倍数	2262：226 + 2×4 = 234、これは39で割り切れます。

40 - 50
40	下1桁が0。下3桁と下2桁を2桁の数とみなし、それが4の倍数。	15960：最後の桁は0。96は4の倍数	a(n) = 40*n. (A317095)
	下3桁が40の倍数
	下から3桁以上の位の数を20倍する。これに下2桁を加える。結果が40で割り切れれば40の倍数	322840：3228×20 + 40 = 64600、これは40で割り切れる
	100の位が偶数の場合、下2桁が00, 40, 80 100の位が奇数の倍、下2桁が20, 60	467520、100の位の5は奇数で、下2桁は20。これは40の倍数
41	下1桁を4倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が41で割り切れれば41の倍数	492：49 −2×4 = 41、41で割り切れる。	（登録なし）
41	下から5桁ごとに区分する。各区分を合計し、41で割り切れる	147,559：1 + 47559 = 47560、これは41で割り切れる	（登録なし）
42	2と3と7で同時に割り切れる。		（登録なし）
42	下から数えて2桁以上の数を4倍する。そこから下1桁を引く。結果が14で割り切れ、かつ数字和が3の倍数ならば42の倍数。	210: 21*4 = 84, 84 - 0 = 84。84は14で割り切れ、数字和2+1+0が3の倍数。	（登録なし）
43	下1桁を13倍し、下から2桁以上の位の数に加える。これが43で割り切れれば43の倍数	50998：5099 + 8×13 = 5203、520 + 3×13 = 559、これは43で割り切れます。	（登録なし）
43	下2桁を3倍する。ここから下から3桁以上の位の数を引く。これが43で割り切れれば43の倍数	2021：21×3-20 = 43、43で割り切れる	（登録なし）
44	4と11で同時に割り切れる。		（登録なし）
45	5と9で同時に割り切れる。		（登録なし）
46	2と23で同時に割り切れる。		（登録なし）
46	下から3桁以上の位の数に8を掛ける。それに下2桁を加える。結果が46で割り切れれば46の倍数	162,288：88 +（8×1622）= 13064、64 +（8×130）= 1104、4 +（8×11）= 92、46で割り切れる。	（登録なし）
47	下から3桁以上の位の数に6を掛ける。それに下2桁を加える。結果が47で割り切れれば47の倍数	30691：91+6×306 = 1927、47で割り切れる。	（登録なし）
	下1桁を33倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が47で割り切れれば47の倍数	48128：4812 + 8×33 = 5076、および507 + 6×33 = 705、47で割り切れる
	下1桁に14を掛ける。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が47で割り切れれば47の倍数	3948：394 −8×14 = 282、47で割り切れる。
48	下から3桁以上の位の数に4を掛ける。それに下2桁を加える。結果が48で割り切れれば48の倍数	5712：12 + 4×57 = 240、48で割り切れる。	（登録なし）
48	3と16で同時に割り切れる。		（登録なし）
49	下2桁を2倍する。それを下から3桁以上の位の数に加える。結果が49で割り切れれば49の倍数	12457956：56 + 2×124579 = 249214、14 + 2×2492 = 4998、98+ 2×49 = 196、49で割り切れる。	（登録なし）
49	下1桁を5倍する。これを下から2桁以上の位の数に加える。結果が49で割り切れれば49の倍数	3871：387 + 1×5 = 392、これは49で割り切れる	（登録なし）
50	下2桁が50の倍数（00, 50）		（登録なし）

割る数Mが51以上の倍数判定法の例を以下に示す。

一の位を5倍して、整数第二位以上と一の位の5倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 51 で割って余りが 0 であれば、その数は 51 の倍数である。
一の位を8倍して、整数第二位以上と一の位の8倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 81 で割って余りが 0 であれば、その数は 81 の倍数である。
下から2桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 99 で割り切れれば、その数は 99 の倍数である。
下から4桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 101 で割り切れれば、その数は 101 の倍数である。
下三桁が 125 の倍数（つまり 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 000）ならば、その数は 125 の倍数である。

これら以外にも、先述の倍数判定法を組み合わせることにより、これ以外の整数の倍数であるか判定することができる。一般に、整数Nが N = a*b*c*…*n と表せるとき、a, b, c,･･･, n の倍数判定法をパスした整数はNの倍数である。

4の倍数判定法と27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は108の倍数である。
5の倍数判定法と37の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は185の倍数である。
3の倍数判定法、5の倍数判定法、16の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は240の倍数である。
2の倍数判定法、7の倍数判定法、27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は378の倍数である。
8の倍数判定法、9の倍数判定法、11の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は792の倍数である。

出典

^ G. H. ハーディ、E. M. ライト著、示野信一, 矢野毅訳『数論入門Ⅰ』シュプリンガーフェアラーク東京〈シュプリンガー数学クラシックス〉、2001年、152頁。ISBN 4431708480。
^ 三野栄治「倍数の判定法について―整除性の特性から」『長崎大学教育学部教科教育学研究報告』第12号、1989年、15頁、NAID 120006970193。
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 日本大百科全書 1987, p. 524.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 学校数学事典 2014, p. 20.
^ ^a ^b ^c Richmond et Richmond 2009, p. 102-108.

参考文献

『日本大百科全書』 13巻（初版第一刷）、小学館、1987年11月1日。ISBN 4-09-526018-1。
Fritz Reinhardt 著、長岡昇勇et長岡由美子訳『カラー図解学校数学事典』共立出版、2014年4月25日。ISBN 978-4-320-01895-2。
Bettina Richmond; Thomas Richmond (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. Pure and Applied Undergraduate Texts. 3. American Mathematical Soc.. ISBN 978-0-8218-4789-3

例

数学的性質

整数に関する性質

整除性の判定法

十進数での例

出典

参考文献

関連項目