余代数(よだいすう、英語: coalgebra)とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。
を体、
を
上のベクトル空間とする。2つの線型写像
、
が存在して、これらが
(余結合律)、
(余単位律)
を満たすとき、即ち図式
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Coalgebra.png/700px-Coalgebra.png)
が可換であるとき、組
を余代数という。また、
を余積、
を余単位という。
、
を
-余代数とする。
-線型写像
が
![{\displaystyle \Delta '\circ f=(f\otimes f)\circ \Delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cb05f71f8c231960fdcb288bba6fdabbc99bf9)
![{\displaystyle \varepsilon '\circ f=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb0d474e5e8de8e6d9c34d04713349dccfd81c48)
を満たすとき
を余代数射(coalgebra morphism)という。これは以下の図式が可換であることと同値:
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Coalgebra_Morphism.png/350px-Coalgebra_Morphism.png)
を余代数、
とする。
が部分余代数であるとは、
を満たすことをいう。このとき、
は余代数の構造を持つ。
を余代数
の部分ベクトル空間とする。
が余イデアル(coideal)であるとは
![{\displaystyle \Delta (I)\subseteq I\otimes C+C\otimes I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ffc7c440f3f9da76202c9b8384c98f3a4ecdee)
![{\displaystyle \varepsilon (I)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12abf210d4690ec27f3586b1d944e3ae67f001b9)
を満たすことをいう。このとき商
は余代数の構造を持つ。
写像
を
で定める。余代数
が余可換であるとは、
が成り立つことをいう。ここで新しい余積を
によって定めると、
は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと
となることは同値である。
を余代数とする。
とすると、余積は
![{\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c^{i}\otimes {\tilde {c}}^{i}\quad (c^{i},{\tilde {c}}^{i}\in C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5dcc8fa0abc3f9e01e7dd990a67f41a0c12047)
と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを
![{\displaystyle \Delta (c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9460d7f334ea439fb5917e0d2565955163a4b338)
と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:
(余結合律)
(余単位律)
を空でない任意の集合、
を
の元を基底とした
-ベクトル空間とする。任意の
に対して余積と余単位を
![{\displaystyle \Delta (s)=s\otimes s,\quad \varepsilon (s)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3cafdddcf669bf04f9d40a83139e786cc3ea24)
- で定めると、
は
-余代数の構造を持つ。
を
-ベクトル空間、
をその基底とする。任意の
に対して余積と余単位を
![{\displaystyle \Delta (c_{i})=\sum _{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad \varepsilon (c_{i})=\delta _{0,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d093c1aba3811461bf0339b84310565b1db1aef5)
- で定めると、
は
-余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。
を
次元
-ベクトル空間、
をその基底とする。余積と余単位を
![{\displaystyle \Delta (e_{ij})=\sum _{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad \varepsilon (e_{ij})=\delta _{i,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5b471674c01d1e74761e456f15b197f9a53a97)
- によって定めると
は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。
を局所有限半順序集合とする。
として
を
の元全体を基底として持つ
-ベクトル空間とする。任意の
に対して余積と余単位を
![{\displaystyle \Delta (x,y)=\sum _{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes (z,y),\quad \varepsilon (x,y)=\delta _{x,y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5acb7912315ef7a9e6218bf75e38ec776e1b4b18)
- で定めると
は余代数となる。
を
-ベクトル空間とし、その基底を
とする。余積と余単位を
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Delta (s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad &\Delta (c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\\varepsilon (s)&=0,\quad &\varepsilon (c)&=1\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24e3ea594702437318268dce1fe930ab9491878)
- で定めると
は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。
を
-余代数、
を
-代数、とする。ここで
の積を
、即ち任意の
に対して
![{\displaystyle (f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right)g\left(c_{(2)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea21c22c773f0aef15c87ce653aa894d70b649a9)
で定める。
が余結合的であることから積
は結合的であることがわかる。この積によって
は
-代数となり、
の双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は
![{\displaystyle \varepsilon \circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto \varepsilon (c)1_{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae6d43651cf12bbd236bd155ef942c62a7c2cb7)
で与えられる。また
が余可換であることと、全ての可換な
に対して
が可換であることは同値である。
逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。
を有限
-次元代数とすると、準同型写像
![{\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A)^{\ast },\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04658f5c9803c77392c947f72e0b6456912270c7)
が存在して
となる。積と単位の双対
![{\displaystyle {\begin{aligned}m^{\ast }&:a\to (A\otimes A)^{\ast }\simeq A^{\ast }\otimes A^{\ast },\\u^{\ast }&:A\to K,\quad f\mapsto f(1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7032e08e305ef5b90330de2dbc0b12960ff1e700)
によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に
が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。
- Tomasz Brzezinski; Robert Wisbauer (2003). Corings and Comodules. Cambridge University Press
- Moss E. Sweedler (1969). Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin
- Sorin Dăscălescu; Constantin Năstăsescu; Șerban Raianu (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 235. Marcel-Dekker