出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
![曖昧さ回避](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png) |
この項目では、数論的函数について説明しています。その他の函数の乗法性については「劣乗法的函数」をご覧ください。 |
数論における乗法的関数(じょうほうてきかんすう、英: multiplicative function)とは、正の整数 n の数論的関数 f(n) であって、f(1) = 1 であり、a と b が互いに素であるならば常に
- f(ab) = f(a) f(b)
が成り立つことである。さらに、f(n) が、任意のa と b に対しても、f(ab) = f(a) f(b) を成立させる時、完全乗法的関数(英語: completely multiplicative function)と呼ぶ[1]。
- gcd(n,k): nとkの最大公約数(k を固定して、n の関数とみなした場合)
- 任意の整数 k に対する
![{\displaystyle n^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53af70c07e0932d85d2fdb70c56360544c3a0b5a)
- メビウス関数:
![{\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{r}&{\text{(if }}n{\text{ is square-free and a product of distinct }}r{\text{ prime numbers)}}\\0&({\text{otherwise}})\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da6622c3fbae0fb731ef72d50a375e484e14751)
- 約数関数: n の約数の個数を表す
![{\displaystyle d(n)=\sum _{d|n,\ d>0}\!\!\!\!1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9244054f2ac87cf2ee0fa2b9bddae4c6f6a520)
- k乗約数和関数:
![{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d|n,\ d>0}\!\!\!\!d^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dcbd5760c17fa3dc1460fb37b8a311f7a6df6c0)
- n の正の奇数の約数の個数を表す
![{\displaystyle \tau _{o}(n)=\sum _{2\nmid d|n,\ d>0}\!\!\!\!\!1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6eb478a030680eaf96c7187c1ca56048214c19)
- n の正の奇数の約数の和を表す
![{\displaystyle \sigma _{o}(n)=\sum _{2\nmid d|n,\ d>0}\!\!\!\!\!d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90f1344ab6158ffd5a6fdc5e17e12888b9fa2ad)
- オイラー関数:
![{\displaystyle \varphi (n)=\#\{k\mid 1\leq k\leq n,\ (k,n)=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a522660f77cdcc1bb8f36073abd550224c123a76)
- ディリクレ指標:
![{\displaystyle \chi (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa413eb1fe727a3cb26bc973782db520ad9d5761)
- リウヴィルのラムダ関数:
(ただし、
はn の素因数の重複も含めた総数)
- ラマヌジャンの和関数:
- ラマヌジャンの τ 関数:
は、
の n 次の係数
- 任意の正整数 k に対する、
(ただし、
はn の異なる素因数の総数)