与えられた数より小さい素数の個数について

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『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて^[1]、ドイツ語の原題: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, 英語での定訳: On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』(Monatsberichte der Königlich Preußischen Akadademie der Wissenschaften zu Berlin) 上に掲載された。解析学や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか9ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳で没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある^[2]^[3]^[4]。

本論文には6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。

この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は $z = x + iy$ （特に $z = 1/2 + iy$ ）と書くところを、リーマンゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで $s = 1/2 + it$ と書く慣習がある^{[注 1]}。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号 $ζ (s)$ を用いて記述したことから以後定着した。

導入された新定義

リーマンゼータ関数 $ζ (s)$ の $s = 1$ を除く全複素平面への解析接続
整関数 $ξ (t)$ ^{[注 2]}
離散関数 $J (x)$ ^{[注 3]}

記載された証明又は証明のあらまし

$ζ (s)$ の関数等式についての二通りの証明
$ξ (t)$ の積表示^{[注 4]}の証明のあらまし（1896年にアダマールが完全に証明）
$ξ (t)$ の零点のうち虚部が $0$ と $T$ の間であるものの近似的な個数についての証明のあらまし（1905年にフォン・マンゴルト（英語版）が完全に証明）
リーマンの素数公式の証明のあらまし（1895年にフォン・マンゴルトが完全に証明）

提起された予想

リーマン予想：「 $ξ (t)$ の全ての零点は実数である」。 $α$ を $ξ (t)$ の零点として、 $ζ (s)$ の負の偶数を除く零点は $1/2 + iα$ と書けるので、これは次のよく知られた形に言い換えられる。「 $ζ (s)$ の非自明な零点の実部は $1/2$ に等しい」

導入された新たな技法等

解析接続（ただしワイエルシュトラス流のものとは異なる）
線積分 (contour integration)
フーリエ逆変換

リーマンはまた関数 $J (x)$ を本質的にスティルチェス積分の尺度として用い、 $ζ (s)$ と素数分布との関連を論じた。そして $log ζ (s)$ との比較を通じて、論文の主結果として $J (x)$ を定式化した。リーマンは更に進んで、一部に困難が残ることを認めつつ、素数の数を与える関数 $π (x)$ の近似公式の導出を試みた。素数分布をある程度正確に記述する素数定理は、後の1896年にド・ラ・ヴァレ・プーサン（英語版）とアダマールによって独立に示された。もしリーマン予想が証明されれば、さらに精密な素数分布が導かれることが知られている。

日本語訳

杉浦光夫訳「与えられた限界以下の素数の個数について」（リーマン(2004)、155–162頁）
鈴木治郎訳「与えられた数より小さな素数の個数について」（エドワーズ(2012)、314–321頁^[5]）
平林幹人訳「与えられた数より小さい素数の個数について」（鹿野(1991)、17–28頁）

注釈

[脚注の使い方]

^ $s = σ + it$ と書く慣習はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。
^ $s = 1/2 + it$ として
$\xi (t)=\Gamma \left({\frac {s}{2}}+1\right)(s-1)\pi ^{-s/2}\zeta (s)\,$
で定義する。ここに、 $Γ$ はガンマ関数である。現代においてよく用いられる $ξ$ とは異なることに注意。
^ 原論文では $f (x)$ と表されている。 $x \geq 0$ で定義され、 $J (0) = 0$ かつ $J (x)$ は素数の冪 $p n$ 毎に $1/ n$ ずつ飛び飛びの値をとる。
^ $ξ$ の積表示とは、次の等式のこと。
$\xi (t)=\xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {t^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)$
ここに $α$ は $ξ$ の零点で、実部が正であるものをわたる。

出典

^ 訳は右記文献の平林幹人による。（鹿野(1991)、17–28頁）
^ 黒川 et al. 1999, p. 123
^ 黒川 & 小山 2009, p. 31
^ 黒川 2009, pp. 29–31
^ リーマン; 鈴木治郎訳 (2012年1月27日). “与えられた数より小さな素数の個数について” (PDF). 信州大学. 2012年7月20日閲覧。

参考文献

外部リンク

[5] $s = σ + it$ と書く慣習はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。

[6] $s = 1/2 + it$ として
$\xi (t)=\Gamma \left({\frac {s}{2}}+1\right)(s-1)\pi ^{-s/2}\zeta (s)\,$
で定義する。ここに、 $Γ$ はガンマ関数である。現代においてよく用いられる $ξ$ とは異なることに注意。

[7] 原論文では $f (x)$ と表されている。 $x \geq 0$ で定義され、 $J (0) = 0$ かつ $J (x)$ は素数の冪 $p n$ 毎に $1/ n$ ずつ飛び飛びの値をとる。

[8] $ξ$ の積表示とは、次の等式のこと。
$\xi (t)=\xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {t^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)$
ここに $α$ は $ξ$ の零点で、実部が正であるものをわたる。

[1] 訳は右記文献の平林幹人による。（鹿野(1991)、17–28頁）

[2] 黒川 et al. 1999, p. 123

[3] 黒川 & 小山 2009, p. 31

[4] 黒川 2009, pp. 29–31

[9] リーマン; 鈴木治郎訳 (2012年1月27日). “与えられた数より小さな素数の個数について” (PDF). 信州大学. 2012年7月20日閲覧。

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