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数学 において、不完全ガンマ関数 （ふかんぜんガンマかんすう、英 : incomplete gamma function ）あるいは、ルジャンドル の不完全ガンマ関数ガンマ関数 の一般化の一つ。（完全）ガンマ関数の積分 表示から、積分区間 の端点の一方（すなわち積分域の始点か終点）を変数 に置き換えたものとして定義される。
不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,∞]を2つに分けて以下のように定義される。
0以上の実数 x と、 実部 が正の複素数 a に対し
第1種不完全ガンマ関数
γ
(
a
,
x
)
{\displaystyle \gamma (a,x)}
γ
(
a
,
x
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt\,\!}
第2種不完全ガンマ関数
Γ
(
a
,
x
)
{\displaystyle \Gamma (a,x)}
Γ
(
a
,
x
)
=
∫
x
∞
t
a
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt\,\!}
ガンマ関数の定義は
Γ
(
a
)
=
∫
0
∞
t
a
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (a)=\int _{0}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt}
であるから、
γ
(
a
,
x
)
+
Γ
(
a
,
x
)
=
Γ
(
a
)
{\displaystyle \gamma (a,x)+\Gamma (a,x)=\Gamma (a)}
となる。
また、不完全ガンマ関数の定義式に部分積分 を用いることで
γ
(
a
+
1
,
x
)
=
a
γ
(
a
,
x
)
−
x
a
e
−
x
Γ
(
a
+
1
,
x
)
=
a
Γ
(
a
,
x
)
+
x
a
e
−
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (a+1,x)&=a\gamma (a,x)-x^{a}e^{-x}\\\Gamma (a+1,x)&=a\Gamma (a,x)+x^{a}e^{-x}\end{aligned}}}
という関係が成り立つことも分かる。
さらに、以下のような式が成り立つ。
Γ
(
a
,
0
)
=
Γ
(
a
)
γ
(
a
,
x
)
→
Γ
(
a
)
(
x
→
∞
)
Γ
(
0
,
x
)
=
−
Ei
(
−
x
)
for
x
>
0
Γ
(
1
/
2
,
x
)
=
π
erfc
(
x
)
γ
(
1
/
2
,
x
)
=
π
erf
(
x
)
Γ
(
1
,
x
)
=
e
−
x
γ
(
1
,
x
)
=
1
−
e
−
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (a,0)&=\Gamma (a)\\\gamma (a,x)&\to \Gamma (a)\quad (x\to \infty )\\\Gamma (0,x)&=-\operatorname {Ei} (-x)\quad {\text{ for }}x>0\\\Gamma (1/2,x)&={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)\\\gamma (1/2,x)&={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)\\\Gamma (1,x)&=e^{-x}\\\gamma (1,x)&=1-e^{-x}\end{aligned}}}
ここで、
である。
∂
Γ
(
a
,
x
)
∂
x
=
−
x
a
−
1
e
x
{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial x}}=-{\frac {x^{a-1}}{e^{x}}}}
MeijerのG関数から[ 1]
T
(
m
,
a
,
x
)
=
G
m
−
1
,
m
m
,
0
(
0
,
0
,
…
,
0
a
−
1
,
−
1
,
…
,
−
1
|
x
)
{\displaystyle T(m,a,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\a-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right)}
T
(
m
,
a
,
z
)
=
−
(
−
1
)
m
−
1
(
m
−
2
)
!
d
m
−
2
d
t
m
−
2
[
Γ
(
a
−
t
)
z
t
−
1
]
|
t
=
0
+
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
a
−
1
+
n
n
!
(
−
a
−
n
)
m
−
1
{\displaystyle T(m,a,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {{\rm {d}}^{m-2}}{{\rm {d}}t^{m-2}}}\left[\Gamma (a-t)z^{t-1}\right]{\Big |}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{a-1+n}}{n!(-a-n)^{m-1}}}}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
∂
Γ
(
a
,
x
)
∂
a
=
ln
x
Γ
(
a
,
x
)
+
x
T
(
3
,
a
,
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial a}}=\ln x\Gamma (a,x)+x\,T(3,a,x)}
∂
2
Γ
(
a
,
x
)
∂
a
2
=
ln
2
x
Γ
(
a
,
x
)
+
2
x
[
ln
x
T
(
3
,
a
,
x
)
+
T
(
4
,
a
,
x
)
]
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (a,x)}{\partial a^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (a,x)+2x[\ln x\,T(3,a,x)+T(4,a,x)]}
∂
m
Γ
(
a
,
x
)
∂
a
m
=
ln
m
x
Γ
(
a
,
x
)
+
m
x
∑
n
=
0
m
−
1
P
n
m
−
1
ln
m
−
n
−
1
x
T
(
3
+
n
,
a
,
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (a,x)}{\partial a^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (a,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,a,x)}
P
j
n
=
(
n
j
)
j
!
=
n
!
(
n
−
j
)
!
.
{\displaystyle P_{j}^{n}=\left({\begin{array}{l}n\\j\end{array}}\right)j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}
^ K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions , AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149-165, [1]
M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (See Chapter 6.)
G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists . Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C . Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.2.) 
![{\displaystyle T(m,a,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {{\rm {d}}^{m-2}}{{\rm {d}}t^{m-2}}}\left[\Gamma (a-t)z^{t-1}\right]{\Big |}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{a-1+n}}{n!(-a-n)^{m-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd863f5bf32e1d7079da4c76d4c9bcdb1fd7dcae)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (a,x)}{\partial a^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (a,x)+2x[\ln x\,T(3,a,x)+T(4,a,x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb6bb066cf3360d2255818f9181c15baf74da87)
