ヴィルヘルム・ヴィルティンガー
一変数 および多変数の複素解析 において、ウィルティンガーの微分 (英 : Wirtinger derivative , ときに Wirtinger operator [ 1] とも)は、複素多変数関数論に関する研究において1927年に導入したヴィルヘルム・ヴィルティンガー (英語版 ) (Wilhelm Wirtinger) の名前にちなんでおり、正則関数 、反正則関数 (英語版 ) 、あるいは単に複素領域 上の微分可能な関数 に適用したときに、1つの実変数 (英語版 ) に関して通常の微分 と非常によく似た振る舞いをする、一階の偏微分作用素 である。これらの作用素によって、そのような関数に対する微分学 の、実変数関数 (英語版 ) に対する通常の微分学と完全に類似した、構成ができる[ 2] 。
複素数 z ∈ C を実部と虚部に分解して z = x + iy と書き、C の適当な領域 G 上の実可微分関数 f = u + iv : G → C に対し、偏微分
∂
f
∂
x
=
∂
u
∂
x
+
i
∂
v
∂
x
,
∂
f
∂
y
=
∂
u
∂
y
+
i
∂
v
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}},\quad {\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial y}}+i{\frac {\partial v}{\partial y}}}
を考えることができる。座標関数として x, y ではなく z = x + iy , z = x − iy を考えるとき、これとは別の偏微分作用素としてヴィルティンガー微分が定義されるが、複素数値関数を実部と虚部に明示的に分けずとも計算できるため扱いはより平易なものとなる。
可微分関数 f の全微分 df を偏微分 を用いて
d
f
=
∂
f
∂
x
d
x
+
∂
f
∂
y
d
y
{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy}
と書くとき、z = x + iy , z = x − iy とすれば微分小に関して
d
x
=
1
2
(
d
z
+
d
z
¯
)
,
d
y
=
i
2
(
d
z
¯
−
d
z
)
{\displaystyle dx={\frac {1}{2}}(dz+d{\bar {z}}),\quad dy={\frac {i}{2}}(d{\bar {z}}-dz)}
であり、これをもとの全微分に代入して整理したものを形式的に
d
f
=
∂
f
∂
z
d
z
+
∂
f
∂
z
¯
d
z
¯
{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial z}}dz+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}d{\bar {z}}}
と書けば、各係数
∂
f
∂
z
:=
1
2
(
∂
f
∂
x
−
i
∂
f
∂
y
)
,
∂
f
∂
z
¯
:=
1
2
(
∂
f
∂
x
+
i
∂
f
∂
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right),\qquad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}
がヴィルティンガー微分 と呼ばれるものである[ 3] 。しばしば ∂f ⁄∂z および ∂f ⁄∂z をそれぞれ ∂f および ∂ f とも書き、また作用素 ∂ はコーシー–リーマン作用素 とも呼ばれる。
定義1. 複素平面
C
≡
R
2
=
{
(
x
,
y
)
∣
x
∈
R
,
y
∈
R
}
{\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} ,\ y\in \mathbb {R} \}}
を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階線型 偏微分作用素 として定義される:
∂
∂
z
=
1
2
(
∂
∂
x
−
i
∂
∂
y
)
,
∂
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
∂
x
+
i
∂
∂
y
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}
明らかに、これらの偏微分作用素の自然な定義域 は領域
Ω
⊆
R
2
{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}}
上の
C
1
{\displaystyle C^{1}}
級関数 の空間であるが、これらの作用素は線型 であり定数係数 であるから、超関数 の各空間 にただちに拡張できる。
定義2. 複素数体 上のユークリッド空間
C
n
=
R
2
n
=
{
(
x
,
y
)
=
(
x
1
,
…
,
x
n
,
y
1
,
…
,
y
n
)
∣
x
,
y
∈
R
n
}
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}}
を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階行列 線型 偏微分作用素 として定義される:
{
∂
∂
z
1
=
1
2
(
∂
∂
x
1
−
i
∂
∂
y
1
)
⋮
∂
∂
z
n
=
1
2
(
∂
∂
x
n
−
i
∂
∂
y
n
)
,
{
∂
∂
z
¯
1
=
1
2
(
∂
∂
x
1
+
i
∂
∂
y
1
)
⋮
∂
∂
z
¯
n
=
1
2
(
∂
∂
x
n
+
i
∂
∂
y
n
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\&\,\vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\&\,\vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.}
一変数のときと同様これらの偏微分作用素の自然な定義域は領域
Ω
{\displaystyle \Omega }
⊆ ℝ2n 上の
C
1
{\displaystyle C^{1}}
級関数の空間であるが定数係数の線型作用素のため超関数の空間へと拡張できる。
この節以降
z
∈
C
n
{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}
は複素ベクトル であり
z
≡
(
x
,
y
)
=
(
x
1
,
…
,
x
n
,
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}
ただし
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
は実ベクトル で n ≥ 1 とする。また、部分集合
Ω
{\displaystyle \Omega }
は ℝ2n あるいは ℂn の領域とする。証明は全て定義1 、定義2 、そして(常あるいは偏)微分の対応する性質の容易な結果である。
補題1.
f
,
g
∈
C
1
(
Ω
)
{\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )}
とし、
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
を複素数 とすると、
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
に対して、以下の等式が成り立つ
∂
∂
z
i
(
α
f
+
β
g
)
=
α
∂
f
∂
z
i
+
β
∂
g
∂
z
i
,
∂
∂
z
¯
i
(
α
f
+
β
g
)
=
α
∂
f
∂
z
¯
i
+
β
∂
g
∂
z
¯
i
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}}
補題2.
f
,
g
∈
C
1
(
Ω
)
{\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )}
であれば、
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
に対して、積の微分法則 が成り立つ
∂
∂
z
i
(
f
⋅
g
)
=
∂
f
∂
z
i
⋅
g
+
f
⋅
∂
g
∂
z
i
,
∂
∂
z
¯
i
(
f
⋅
g
)
=
∂
f
∂
z
¯
i
⋅
g
+
f
⋅
∂
g
∂
z
¯
i
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\cdot g\right)={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\cdot g\right)={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}}
この性質によってウィルティンガーの微分はちょうど通常の微分のように抽象代数学 的視点の微分 であることに注意。
これは一変数と多変数とで異なる:n > 1 に対して完全な一般性でチェインルール を表現するには2つの領域
Ω
′
⊆
C
m
{\displaystyle \Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}}
および
Ω
″
⊆
C
p
{\displaystyle \Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}}
と自然な滑らかさの要求を満たす2つの関数
g
:
Ω
′
→
Ω
{\displaystyle g:\Omega '\to \Omega }
および
f
:
Ω
→
Ω
″
{\displaystyle f:\Omega \to \Omega ''}
を考える必要がある[ 4] 。
補題3.1
f
,
g
∈
C
1
(
Ω
)
{\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )}
および
g
(
Ω
)
⊆
Ω
{\displaystyle g(\Omega )\subseteq \Omega }
であれば、チェインルール が成り立つ
∂
∂
z
(
f
∘
g
)
=
(
∂
f
∂
z
∘
g
)
∂
g
∂
z
+
(
∂
f
∂
z
¯
∘
g
)
∂
g
¯
∂
z
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\left(f\circ g\right)=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}}
∂
∂
z
¯
(
f
∘
g
)
=
(
∂
f
∂
z
∘
g
)
∂
g
∂
z
¯
+
(
∂
f
∂
z
¯
∘
g
)
∂
g
¯
∂
z
¯
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(f\circ g\right)=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}}
補題3.2
g
∈
C
1
(
Ω
′
,
Ω
)
{\displaystyle g\in C^{1}(\Omega ^{\prime },\Omega )}
および
f
∈
C
1
(
Ω
,
Ω
′
′
)
{\displaystyle \scriptstyle f\in C^{1}(\Omega ,\Omega ^{\prime \prime })}
であれば、
i
=
1
,
…
,
m
{\displaystyle i=1,\dots ,m}
に対し、以下の形のチェインルールが成り立つ
∂
∂
z
i
(
f
∘
g
)
=
∑
j
=
1
n
(
∂
f
∂
z
j
∘
g
)
∂
g
j
∂
z
i
+
∑
j
=
1
n
(
∂
f
∂
z
¯
j
∘
g
)
∂
g
¯
j
∂
z
i
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}}
∂
∂
z
¯
i
(
f
∘
g
)
=
∑
j
=
1
n
(
∂
f
∂
z
j
∘
g
)
∂
g
j
∂
z
¯
i
+
∑
j
=
1
n
(
∂
f
∂
z
¯
j
∘
g
)
∂
g
¯
j
∂
z
¯
i
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g\right)=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}}
補題4.
f
∈
C
1
(
Ω
)
{\displaystyle f\in C^{1}(\Omega )}
であれば、
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
に対して、以下の等式が成り立つ
∂
f
¯
∂
z
i
=
∂
f
¯
∂
z
¯
i
,
∂
f
¯
∂
z
¯
i
=
∂
f
¯
∂
z
i
{\displaystyle {\frac {\overline {\partial f}}{\partial z_{i}}}={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}},\quad {\frac {\overline {\partial f}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}}
∂
z
∂
z
=
1
,
∂
z
¯
∂
z
=
0
,
∂
z
∂
z
¯
=
0
,
∂
z
¯
∂
z
¯
=
1.
{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial z}}=1,\,{\frac {\partial {\bar {z}}}{\partial z}}=0,\,{\frac {\partial z}{\partial {\bar {z}}}}=0,\,{\frac {\partial {\bar {z}}}{\partial {\bar {z}}}}=1.}
f (z ) が z と z の多項式 であるとき、z , z を独立変数と思って形式的に偏微分すればよい。例えば、
∂
∂
z
(
z
3
+
3
z
z
¯
+
z
¯
2
)
=
3
z
2
+
3
z
¯
∂
∂
z
¯
(
z
3
+
3
z
z
¯
+
z
¯
2
)
=
3
z
+
2
z
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(z^{3}+3z{\bar {z}}+{\bar {z}}^{2})&=3z^{2}+3{\bar {z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(z^{3}+3z{\bar {z}}+{\bar {z}}^{2})&=3z+2{\bar {z}}\end{aligned}}}
f が正則 であるとき、f ′ = ∂f である。
コーシー・リーマンの方程式 が成り立つことと、∂ f = 0 となることは同値である。
∂∂ = ∂ ∂ = (1/4)Δ, ここで Δ = ∂2 /∂x 2 + ∂2 /∂y 2 はラプラシアン 。
正則関数を実部・虚部に分け f = u + iv とすると、Δf = 4∂∂ f = 0, したがって Δu + i Δv = 0 となるから、Δu = Δv = 0, すなわち u と v は調和 であることがわかる。
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