リー代数の随伴表現

リー代数の随伴表現（リーだいすうのずいはんひょうげん、英: adjoint representation of a Lie algebra）とは、リー代数 ${\mathfrak {g}}$ の交換子を用いて定義されるリー代数から ${\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ への準同型写像のことをいう。

定義

${\mathfrak {g}}$ をリー代数とする。$x\in {\mathfrak {g}}$ に対し $ad_{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ を

$ad_{x}(y)=[x,y]$

によって定める。このとき $ad_{x}$ は線型変換であり、リー代数からベクトル空間へ準同型

$ad:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad x\mapsto ad_{x}$

をリー代数 ${\mathfrak {g}}$ の随伴表現という。

性質

$x,y,z\in {\mathfrak {g}}$ に対して、

$ad_{[x,y]}(z)=[ad_{x},ad_{y}](z)$。

リー群の随伴表現との関係

リー群 $G$ の単位元における接空間 $T_{e}G={\mathfrak {g}}$ を $G$ に付随するリー代数という。 $G$ の随伴表現を $Ad$ とすると、

$d(Ad)_{e}=ad:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$

が成り立つ。