ミンコフスキー汎関数
数学の関数解析学の分野におけるミンコフスキー汎関数(ミンコフスキーはんかんすう、英: Minkowski functional)とは、線型空間上に距離の概念をもたらすような関数のことである。
K を、線型空間 V に含まれる対称な凸体とする。V 上の関数 p を
によって定める(ただしこの右辺が well-defined である場合)[1]。
動機
[編集]例1
[編集]ノルム線型空間 X を考える。そのノルムは ||·|| で表されるものとする。K を、X に含まれる単位球とする。関数 p: X → R を
によって定める。このとき、 が成立するため、p はまさしく X 上のノルムということになる。この p はミンコフスキー汎関数の特別な例である。
例2
[編集]X を、スカラーの体(基礎体)K による位相を備えない線型空間とする。φ ∈ X′ を、X の代数的双対とする。すなわち、φ: X → K は X 上の線型汎関数である。a > 0 を固定し、集合 K を
によって定める。ふたたび、関数
を定める。すると、
が成立する。この関数 p(x) もミンコフスキー汎関数の特別な例である。これは次のような性質を備えている:
以上の性質から p は、誘導位相を備えた X 上の半ノルムということになる。これは「良い」集合を通して定義されたミンコフスキー汎関数の特性である。半ノルムと、そのような集合によって与えられたミンコフスキー汎関数との間には一対一の対応が存在する。ここで言う「良い」という語の正式な意味は、後述の節を参照されたい。
強い条件の要請されるノルムと比較して、半ノルムであるこの場合では p(x) = 0 は必ずしも x = 0 を意味しないことに注意されたい。上の例では、φ の核にはゼロでない x が含まれている。したがって、結果として導かれる位相は必ずしもハウスドルフではない。
定義
[編集]上の例では、与えられた(複素あるいは実)線型空間 X およびその部分集合 K に対し、対応するミンコフスキー汎関数
を
によって定義することが出来ると示唆していた。このような関数はしばしば の計測関数(gauge)と呼ばれる。
この定義では、非明示的に 0 ∈ K および、集合 {r > 0: x ∈ r K} が空でないことが仮定されている。pK が半ノルムの性質を備えるためには、K にさらなる追加条件が必要となる。それは次のようなものである:
- K は凸である(これは pK の劣加法性を意味する)。
- K は均衡である。すなわち、すべての |α| ≤ 1 に対して αK ⊂ K が成立する(これは pK の同次性を意味する)。
これらの条件を満たす集合 K は、絶対凸と呼ばれる。
K の凸性
[編集]K の凸性は関数 pK の劣加法性を意味する、ということは次のような簡単な幾何的な議論によって示される: 便宜的に pK(x) = pK(y) = r を仮定する。すると、任意の ε > 0 に対して x, y ∈ (r + ε) K = K′ となる。K が凸であるという仮定により、 K' もまた凸であることが分かる。したがって、½ x + ½ y は K' に含まれる。ミンコフスキー汎関数 pK の定義により、
が得られるが、この左辺は ½ pK(x + y) であるため、
が得られる。これが劣加法性に関する求める不等式である。一般の pK(x) > pK(y) の場合については、簡単な修正を加えることで分かる。
注意 集合 {r > 0: x ∈ r K} が空でないという元々の仮定の下で K が凸であるということは、K が吸収的集合であることを意味する。
K の均衡性
[編集]K が均衡であるということは
を意味することに注意されたい。したがって、
を得る。
関連項目
[編集]注釈
[編集]- ^ Thompson (1996) p.17
参考文献
[編集]- Thompson, Anthony C. (1996). Minkowski Geometry. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40472-X