フレヴィッツの定理

数学において、フレヴィッチの定理（英: Hurewicz theorem）は、代数的位相幾何学の基本的結果であり、フレヴィッチ準同型と呼ばれる写像を通して、ホモトピー論とホモロジー論を結びつけるものである。定理の名前は、ヴィトルド・フレヴィッチ（英語版） (Witold Hurewicz) に因んでいて、アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) による以前の結果を一般化した定理である。

定理の主張

フレヴィッチの定理は、ホモトピー群とホモロジー群を結びつける重要な定理である。

絶対的なバージョン

任意の位相空間 X と正の整数 k に対し、k 次ホモトピー群から k 次（整数係数）ホモロジー群への、フレヴィッチ準同型 (Hurewicz homomorphism) と呼ばれる群準同型

h_{\ast }\colon \pi _{k}(X)\to H_{k}(X)\,\!

が存在する。k = 1 と弧状連結な X に対して、フレヴィッツの定理は、標準的なアーベル化写像

h_{\ast }\colon \,\pi _{1}(X)\to \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\,\!

と同値となる。

フレヴィッツの定理は、X が (n − 1)-連結であれば、フレヴィッツ準同型写像は n ≥ 2 のときすべての k ≤ n に対し同型となり、n = 1 のときアーベル化となる、というものである。特に、フレヴィッツの定理は、第一ホモトピー群（基本群）のアーベル化が第一ホモロジー群

H_{1}(X)\cong \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\,\!

に同型であることを言っている。従って、X が弧状連結で、 $π$ ₁(X) が完全（英語版）であれば、第一ホモロジー群が 0 となる。

さらに、n ≥ 2 に対し、X が (n − 1)-連結のときはいつも、フレヴィッツ準同型写像は $\pi _{n+1}(X)$ から $H_{n+1}(X)$ への全射である。

群の準同型は、標準的な生成子 $u_{n}\in H_{n}(S^{n})$ を選び、写像 $f\in \pi _{n}(X)$ のホモトピー類を $f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)$ に写すことにより得られる。

相対的なバージョン

位相空間対 (X, A) と整数 k > 1 に対し、相対ホモトピー群から相対ホモロジー群への準同型

h_{\ast }\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)\,\!

が存在する。相対フレヴィッツの定理は、X と A が連結であり、対 (X, A) が (n − 1)-連結であれば、k < n に対し、H_k(X,A) = 0 であり、H_n(X, A) は $π$ _n(X, A) から $π$ ₁(A) への作用で割ることで得られるという定理である。このことは、Whitehead (1978) では帰納法により証明され、絶対バージョンとホモトピー加法補題と証明された。

この相対的フレヴィッツの定理は、Brown & Higgins (1981)において、射

\pi _{n}(X,A)\to \pi _{n}(X\cup CA)\,\!.

^[1]

に関するステートメントとして再定式化された。

このステートメントは、ホモトピー切除定理（英語版）(homotopical excision theorem)の特別な場合であり、n > 2 に対し誘導加群（ n = 2 に対しては、接合加群(crossed module)）を意味し、相対ホモトピー群の高次ホモトピーのファン・カンペンの定理(van Kampen theorem)から導かれる。証明は 3次のホモトピー亜群のテクニックの発展を必要とした。

単体の集合のバージョン

位相空間についてのフレヴィッツの定理は、n-連結なカンの条件を満す単体的集合（英語版）(simplicial set)についての成立するとする定理である^[2]。

有理フレヴィッツ定理

有理フレヴィッツ定理(Rational Hurewicz theorem)^[3]^[4]： $i\leq r$ に対し $\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0$ であるような X を単連結な位相空間とすると、フレヴィッツ写像

h\otimes \mathbb {Q} :\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )

は、 $1\leq i\leq 2r$ に対して同型を、 $i=2r+1$ に対しては全射を引き起す。

脚注

^ ここにある、 $CA$ は、 $A$ の約錐(reduced cone) : $CA=A\wedge I\ \ (I=[0,1])$ を表す。ちなみに、 $A$ の約懸垂(reduced suspension)は $SA=A\wedge S^{1}$ で表す。
^ Goerss, P. G.; Jardine, J. F. (1999), Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics, 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1 , III.3.6, 3.7
^ Klaus, S.; Kreck, M. (2004), “A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 136: 617–623, doi:10.1017/s0305004103007114
^ Cartan, H.; Serre, J. P. (1952), “Espaces fibres et groupes d'homotopie, II, Applications”, C. R. Acad. Sci. Paris 2 (34): 393–395

参考文献

Brown, R. (1989), “Triadic Van Kampen theorems and Hurewicz theorems”, Contemporary Mathematics 96: 39–57, doi:10.1090/conm/096/1022673, ISSN 0040-9383
Brown, Ronald; Higgins, P. J. (1981), “Colimit theorems for relative homotopy groups”, Journal of Pure and Applied Algebra 22: 11–41, doi:10.1016/0022-4049(81)90080-3, ISSN 0022-4049
Brown, R.; Loday, J.-L. (1987), “Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces”, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 54: 176–192, doi:10.1112/plms/s3-54.1.176, ISSN 0024-6115
Brown, R.; Loday, J.-L. (1987), “Van Kampen theorems for diagrams of spaces”, Topology 26 (3): 311–334, doi:10.1016/0040-9383(87)90004-8, ISSN 0040-9383
Rotman, Joseph J. (1988), An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, 119, Springer-Verlag (1998-07-22発行), ISBN 978-0-387-96678-6
Whitehead, George W. (1978), Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics, 61, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90336-1

[1] ここにある、 $CA$ は、 $A$ の約錐(reduced cone) : $CA=A\wedge I\ \ (I=[0,1])$ を表す。ちなみに、 $A$ の約懸垂(reduced suspension)は $SA=A\wedge S^{1}$ で表す。

[#1-2] Goerss, P. G.; Jardine, J. F. (1999), Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics, 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1 , III.3.6, 3.7

[#2-3] Klaus, S.; Kreck, M. (2004), “A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 136: 617–623, doi:10.1017/s0305004103007114

[#3-4] Cartan, H.; Serre, J. P. (1952), “Espaces fibres et groupes d'homotopie, II, Applications”, C. R. Acad. Sci. Paris 2 (34): 393–395

[1]

[2]

[3]

[4]