This image presents the dispersion relation of phonon polaritons according to a simple theory^[1], giving the two following dispersion relations for the coupled optical phonon/electromagnetic field system :

1. longitudinal optical phonons (LO phonons)
   ${\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{0}^{2}+{\frac {\Omega ^{2}}{1+\chi _{\infty }}}={\text{const}};}$
2. polaritons (transverse em field + TO phonons)
   ${\displaystyle \mathbf {k} ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left[1+\chi _{\infty }+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right].}$

The dashed red curves correspond to the uncoupled modes (photons and phonons: Ω = 0), and the black curves represent solutions of the above equations with parameters chosen to fit the dispersion relation of polaritons in GaP^[2], giving

Uncoupled optical phonon frequency

ω₀ = 45.4 meV

Coupling parameter

Ω = 61 meV

Electric susceptibility

χ_∞ = 7.5

Note that k is very small compared to π/a.

1. ↑ Max Born, Kun Huang, Dynamical Theory of Crystal Lattices, Oxford University Press, 1954 (ISBN 9780198503699), « Chapter 8 : Infrared Dispersion and the Retardation Effect on Lattice Vibrations »
2. ↑ C. H. Henry and J. J. Hopfield, Raman Scattering by Polaritons, Phys. Rev. Lett. 15, 964 - 966 (1965).

(further minor editing and conversion to svg done with inkscape)

解説Phonon polaritons.svg	English: Dispersion relation of phonon polaritons with parameters corresponding to GaP. Français : Relation de dispersion des polaritons avec des paramètres correspondant au GaP.
日付	2008年11月15日
原典	投稿者自身による著作物
作者	Mathieu Perrin
SVG 開発 InfoField	このSVGのソースコードは正しい。   この 図式はMATLABで作成されました。
ソースコード InfoField	MATLAB code e=1.602e-19; hbar = 1.05457168e-34; c=2.9978e8; ang=1e-10; omega0=45.4e-3*e/hbar; %conversion meV->rd/s Om=61e-3*e/hbar; chi=7.5; k=linspace(0,0.0004/ang)'; y1=omega0*ones(size(k)); %uncoupled phonon dispersion y2=c*k/sqrt(1+chi); %uncoupled photon dispersion y3=sqrt(y1.^2+Om^2/(1+chi));%longitudinal phonons %solve for omega in %k^2*c^2=omega^2*(1+chi+Om^2/(omega0^2-omega^2)) a1 = (1+chi)*ones(size(k)); a2 = -((1+chi)*omega0^2+k.^2*c^2+Om^2); a3 = k.^2*c^2*omega0^2; D = sqrt(a2.^2-4*a1.*a3); y4=sqrt((-a2+D)./(2*a1));%upper polaritons y5=sqrt((-a2-D)./(2*a1));%lower polaritons plot(k*ang, [y1 y2]*1000*hbar/e,'r--','Linewidth',1.8); hold on plot(k*ang, [y3 y4 y5]*1000*hbar/e,'k','Linewidth',1.8); hold off axis([0 0.0004 35 60]); set(gca,'FontSize',18,'TickLength',[.02 .02],'LineWidth',1.5); xlabel('k (A^{-1})'); %A to be replaced ylabel('h\omega (meV)'); %h to be replaced

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