For the readers who are interested in Erlang distribution, we have prepared another specific image (see right). Note that in Erlang distribution the shape parameter k must take integers.

Originally, the pdf of Gamma distribution is

${\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}.}$

Let α = k, and β = 1/θ. Then

${\displaystyle f(x;k,\theta )=f(x;\alpha ,1/\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}}.}$

Hence

${\displaystyle \ln f(x;k,\theta )=\alpha \ln \beta +(\alpha -1)\ln x-\ln \Gamma (\alpha )-\beta x}$

which directly gives the code below.

 

このW3C-unspecified ベクター画像はGnuplotで作成されました。

# Author: Autopilot, Ika
# Date: 12/08/2014

set term svg size 800,600 font 'Times, 24' enhanced
set output 'gamma_dist_pdf.svg'
set samples 1001

set xtics 0,2
set ytics 0,0.1
set mxtics 10
set mytics 10
set yrange [0:0.5]
set key top right Left reverse

# Ln f(x; k, theta)
# Commonly, we denote a = alpha = k and b = beta = 1/theta.
ln_f(x, a, b) = a*log(b) - lgamma(a) + (a-1)*log(x) - b*x

# f(x; k, theta)
f(x, k, theta) = (x<0)? 0 : (x==0)? ((k<1)? 1/0 : (k==1)? theta : 0)\
 : (theta==0)? 0 : exp(ln_f(x, k, 1.0/theta))

plot [0:20] \
    f(x, 1.0, 2.0) t "k = 1.0, {/Symbol q} = 2.0" lw 2 lc rgb "red", \
    f(x, 2.0, 2.0) t "k = 2.0, {/Symbol q} = 2.0" lw 2 lc rgb "orange", \
    f(x, 3.0, 2.0) t "k = 3.0, {/Symbol q} = 2.0" lw 2 lc rgb "yellow", \
    f(x, 5.0, 1.0) t "k = 5.0, {/Symbol q} = 1.0" lw 2 lc rgb "green", \
    f(x, 9.0, 0.5) t "k = 9.0, {/Symbol q} = 0.5" lw 2 lc rgb "black", \
	f(x, 7.5, 1.0) t "k = 7.5, {/Symbol q} = 1.0" lw 2 lc rgb "blue", \
	f(x, 0.5, 1.0) t "k = 0.5, {/Symbol q} = 1.0" lw 2 lc rgb "purple"

set term x11
set output

この画像には画像編集が施されています。原本に対して次のデジタル的な変更が行われました。 編集内容：Recreated as svg with gnuplot 編集前の原本：Gamma distribution pdf.png:  編集者：Autopilot

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	あなたは以下の条件に従う場合に限り、自由に 共有 – 本作品を複製、頒布、展示、実演できます。 再構成 – 二次的著作物を作成できます。 あなたの従うべき条件は以下の通りです。 表示 – あなたは適切なクレジットを表示し、ライセンスへのリンクを提供し、変更があったらその旨を示さなければなりません。これらは合理的であればどのような方法で行っても構いませんが、許諾者があなたやあなたの利用行為を支持していると示唆するような方法は除きます。 継承 – もしあなたがこの作品をリミックスしたり、改変したり、加工した場合には、あなたはあなたの貢献部分を元の作品とこれと同一または互換性があるライセンスの下に頒布しなければなりません。
	このライセンスのテンプレートは、GFDLのライセンス・アップデートによりこのファイルに追加されたものです。http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue

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あなたは上記のライセンスから、どれか一つ以上を選択できます。

This image is a derivative work of the following images:

• File:Gamma_distribution_pdf.png licensed with Cc-by-sa-3.0-migrated, GFDL, GPL
  • 2005-03-10T20:34:05Z MarkSweep 1300x975 (162472 Bytes) new version of PDF and matching CDF
  • 2005-03-10T17:45:44Z Cburnett 960x720 (138413 Bytes) Probability density function for the Gamma distribution {{GFDL}}

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