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ハイゼンベルク群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
ハイゼンベルグ群から転送)

可換環 A 上のハイゼンベルク群 (: Heisenberg group) とは、通常の行列の積に関して

の形をした行列がなすである。これは群の中心交換子部分群が一致する非可換冪零群であり、 H(A) などと表される。係数環 A としては実数体 R、整数環 Z、有限体 Z/pZ などを考えることが多い。

H(R) は3次元の単連結リー群であり、任意の元は指数写像行列の指数関数)を用いて

と表すことができる。

H(Z)H(R)離散部分群であり、任意の元は

とおけば xaybzc と表せることがわかる。また z = y−1x−1yx が成り立つので H(Z)xy の2元から生成される。

H(Z/pZ)一般線型群 GL3(Z/pZ)シロー p 部分群で、位数p3 である。p が奇素数のとき、すべての元 ggp = 1 を満たす。