ノート:ディラックのデルタ関数

過去の議論

1. 2005年10月4日 (火) 08:48 ヘビサイド関数について、超関数としての定式化について、極限式の誤りについて

内容の正確性について

存在の証明の内容は数学的に正確なものではないので、そう明記すべきだと思います。一意性のところは必要なのでしょうか？デルタを関数としてみるなら

$\delta (x)={\begin{cases}0,&x\neq 0\\+\infty ,&x=0\end{cases}}$

と定める以外にないですし、超関数としてみるなら、冒頭に書いてある条件ですでに一意に定まっています。特別にセクションを作って論じるような内容だとは思えません。 あと、「デルタ関数は明らかに偶関数であるから」以降にあることは誤りだと思います。デルタ関数を超関数としてみるなら、積分範囲は常に R でないと意味がないはずです。無理やり

$\int _{0}^{+\varepsilon }\delta (x)dx=\int 1_{[0,\varepsilon ]}(x)\delta (x)dx$

と解釈しても、被積分関数が試料関数にはいってないので定義されない積分です。デルタ関数を確率分布とみるなら、積分範囲が (0, ε) か [0, ε) かによって値が変わるので、普通は

$\int _{(0,\varepsilon )}\delta (x)dx=0$

$\int _{[0,\varepsilon )}\delta (x)dx=1$

と書きます。--Kik 2005年10月3日 (月) 18:49 (UTC)

専門家として一言: デルタ函数について，

1. $\delta (x)=0\,\,{\textrm {if}}\,\,x\neq 0$
2. $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1$

又は

• $\delta (x)={\begin{cases}0,&x\neq 0\\+\infty ,&x=0\end{cases}}$

では，直感的な説明にはなっていますが，数学的には定義になっていません．

佐藤超函数としての定義か，Schwartz 式の線型汎函数としての定義か，事典ならばどちらか「正しい」定義を最初に述べ，直感的な説明は後回しにした方がすっきりすると思います．

順番としては Schwartz 流を最初に定義として説明し，次に佐藤流を紹介するのが自然でしょう，

通常の函数の極限として書いてある所は，徒らに混乱を招くだけです．削除した方がよいのでは?

-- 220.220.111.148 2005年11月4日 (金) 21:06

可読性確保のため、履歴より識別子として 220.220.111.148 の IP アドレスと投稿時間を復元し、書式の変更を行いました。ご了解ください。半角チルダ4つを ~~~~ と並べると投稿時に自動的に同様の書式での署名に置き換わります。

改めまして、Lem と名乗らせていただいているものです。220.220.111.148 さん（仮にこのように呼ばせていただきます）には貴重なご意見を頂きましたことを参加者の一人として感謝いたします。

ご存知でしたらすみません、まずウィキペディアには様々な経歴の持ち主が自由に参加し、記事の編集を行えます。現在の状況も様々な人の手を経たものであります。ページ上部にある履歴のタブから過去の編集の様子を知ることができます（ここはディスカッション用ノートですので「本文」→「履歴」ですね）が、本項目の初版はまず関数極限のみかかれたものでした。現在のセクションの順番は概ねその定義が書き込まれた順番ということができます。実はこれでもまだ整理できたほうじゃないかなと思います（いっそ全面改稿がよいのではないかと思わせる項目は悲しいことにまだたくさんあります）。

また数学項目の扱いも、どの程度の専門性を仮定するのか対象読者のレベルとしてどの程度を想定するかなどの基本的なことを含めて、日本語版ウィキペディアでは宙ぶらりんにされている感があり、外部にいくつかあるユーザーコミュニティでは門外漢への訴求効果を得る方法として直感的な記述も無碍にできないとする傾向も多々あるように感じられます。教育や応用が絡む項目ではこの傾向は顕著であるといえます。ただ、個人的には 220.220.111.148 さんのご意見に賛同いたします。

さて前置きはこのくらいにしておきますが、文書全体の見直しというのは構成などまで含めると案外手間がかかるもので、なかなか手が出ません。特に専門的な知識の要求される項目は放置される傾向にあるということも現状ではありますので、気が向いたときで構いませんのでぜひ 220.220.111.148 さんご自身での加筆・修正をお考えいただけると助かります。という方向にならざるを得ないかなと思います。すみません、Kik さんの問題提起に応じていただいたところ、このような提案をすることをお許しください。

なお、ユーザー登録も無料ですぐに行えますし、ログインすれば多少の機能が増えます（項目名を変更する「移動機能」や作業スペースとしての利用者ページ、連絡・コミュニケーション用のトークページなど、また履歴表示やチルダによる署名において IP の代わりにユーザーネームが使われるようになります。そのほか、ログインによって可能になる様々なことについての詳細はWikipedia:ログインの仕方にまとめられています）。よろしければアカウント登録とログインもご検討ください。--Lem 2005年11月5日 (土) 00:44 (UTC)

すみません、「Sinc関数を用いての定義」の式って明らかに間違ってますよね？収束しません。--125.30.94.27 2009年2月23日 (月) 11:31 (UTC)

超関数のことはよく知らないのですが、英語版 en:Dirac delta function#Representations of the delta function を見ると、この lim は通常の極限ではない特殊な意味で使われているようです。何かの書籍を参考にしたのではありませんから、嘘でしたら遠慮なく削ってください。それよりも、上でも指摘されている通り、これはデルタ関数の「定義」でも何でもないことが気になって表現を変えました。工学系の方ならこういうのを平気で「定義」と呼びそうですけれども。 --白駒 2009年2月24日 (火) 10:56 (UTC)

というか、sincの定義が間違ってますね。sin(kx)/(kx)では？--125.30.21.105 2009年2月27日 (金) 12:04 (UTC)

積分値が 1 になるように定数倍しているのでしょう。本質的にsinc関数だと解釈してよいのではないでしょうか。--白駒 2009年2月27日 (金) 13:36 (UTC)

申し訳ないです。そちらの条件を忘れていました。e^(-k x^2)√(k/π)とかなら、両方の条件を満たしますね。いずれにせよ、定義とするには無理があるかもしれません。--125.30.21.105 2009年2月28日 (土) 00:33 (UTC)

「概要」の記述における不備について

過去の版を不用意に利用したためでしょうか、条件が番号で明示されていないのに「（連続関数が 1 を満たせばそれは常に 0 なる関数であって ・・・」などと書かれていますよね。これでは問題ですから、どなたかお詳しい方の修正を期待します。 --オレナンカドーセ 2009年12月18日 (金) 11:16 (UTC)

新しい話題は下につけるという慣例に従って勝手ながら下のほうへ移動させていただきます。ご指摘のとおり、条件に番号がついていた版を大きく書き換えた際に、条件を番号で指定していた記述をそのまま使ってしまったゆえおかしなことになっていたようです（おかしくなったのはたぶんこのあたり）。軽く修正してみましたが、私などよりより数学に明るい方にチェックしていただければ幸いです。--114.145.183.12 2009年12月19日 (土) 05:11 (UTC)