この項目では、ガンマ関数の対数微分で定義されるディガンマ関数（digamma function）について説明しています。多重ガンマ関数（multiple gamma function）の一種である二重ガンマ関数（double gamma function）については「多重ガンマ関数 」をご覧ください。
実数x に対するψ(x )の挙動 複素平面上でのψ(z )。点z における色が ψ(z ) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表す。 数学において、ディガンマ関数 （でぃがんまかんすう、英 : digamma functionプサイ関数 （ぷさいかんすう、英 : psi function ）とはガンマ関数 の対数微分 で定義される特殊関数 [ 1] ポリガンマ関数 の一種である。
ガンマ関数
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
対数微分
ψ
(
z
)
=
d
d
z
ln
Γ
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln {\Gamma (z)}={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}
をディガンマ関数 と呼ぶ。
ディガンマ関数は、
z
=
0
,
−
1
,
−
2
,
…
(
z
∈
Z
∖
Z
+
)
{\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots (z\in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z} ^{+})}
極 をもち，それらの点を除く全複素平面 では解析的 になる。
ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示
1
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
z
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
n
)
n
z
n
!
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {z(z+1)\cdots (z+n)}{n^{z}n!}}}
を対数微分することで、ディガンマ関数における
ψ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
{
ln
n
−
1
z
−
∑
k
=
1
n
1
z
+
k
}
{\displaystyle \psi (z)=\lim _{n\to \infty }\left\{\ln {n}-{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z+k}}\right\}}
という表示を得る。特に
z
=
1
{\displaystyle z=1}
ψ
(
1
)
=
lim
n
→
∞
{
ln
n
−
∑
k
=
1
n
1
k
}
=
−
γ
{\displaystyle \psi (1)=\lim _{n\to \infty }\left\{\ln {n}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right\}=-\gamma }
を得る。但し、
γ
=
0.5772
…
{\displaystyle \gamma =0.5772\ldots }
オイラーの定数 である。
また、ディガンマ関数は次の漸化式 を満たす[ 2]
ψ
(
z
+
1
)
=
ψ
(
z
)
+
1
z
{\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}
この関係式から、一般に
ψ
(
z
+
n
)
=
ψ
(
z
)
+
∑
k
=
1
n
1
z
+
k
−
1
{\displaystyle \psi (z+n)=\psi (z)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z+k-1}}}
であり、特に
z
=
1
{\displaystyle z=1}
ψ
(
n
+
1
)
=
−
γ
+
∑
k
=
1
n
1
k
{\displaystyle \psi (n+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}
が得られる。
ディガンマ関数とその導関数 は
z
≠
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
(
z
∈
C
∖
{
0
,
Z
−
}
)
{\displaystyle z\neq 0,-1,-2,-3,\ldots (z\in \mathbb {C} \setminus \{0,\mathbb {Z} ^{-}\})}
級数 表示を持つ。
ψ
(
z
)
=
−
γ
−
∑
n
=
0
∞
(
1
z
+
n
−
1
n
+
1
)
=
−
γ
+
∑
n
=
0
∞
z
−
1
(
n
+
1
)
(
z
+
n
)
{\displaystyle \psi (z)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{z+n}}-{\frac {1}{n+1}}{\biggr )}=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(z+n)}}}
ψ
(
k
)
(
z
)
=
(
−
1
)
k
+
1
k
!
∑
n
=
0
∞
1
(
z
+
n
)
k
+
1
{\displaystyle \psi ^{(k)}(z)=(-1)^{k+1}k\,!\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{k+1}}}}
これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示
1
Γ
(
z
)
=
z
e
γ
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
e
−
z
/
n
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl (}1+{\frac {z}{n}}{\biggr )}e^{-z/n}}
の対数微分から導かれるものである、
また、
z
=
0
{\displaystyle z=0}
テイラー展開 により、
|
z
|
<
1
{\displaystyle |\,z\,|<1}
ψ
(
z
+
1
)
=
−
γ
+
∑
n
=
2
∞
(
−
1
)
n
ζ
(
n
)
z
n
−
1
{\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}\zeta (n)z^{n-1}}
ただし、
ζ
(
n
)
{\displaystyle \zeta (n)}
リーマンゼータ関数 を表す。
R
e
(
z
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}
ψ
(
z
)
=
∫
0
∞
(
e
−
s
−
1
(
1
+
s
)
z
)
d
s
s
{\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}e^{-s}-{\frac {1}{(1+s)^{z}}}{\biggr )}{\frac {\mathrm {d} s}{s}}}
ψ
(
z
)
=
∫
0
∞
(
e
−
s
s
−
e
−
z
s
1
−
e
−
s
)
d
s
{\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {e^{-s}}{s}}-{\frac {e^{-zs}}{1-e^{-s}}}{\biggr )}\mathrm {d} s}
ψ
(
z
)
=
−
γ
+
∫
1
∞
s
z
−
1
−
1
s
z
(
s
−
1
)
d
s
{\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\int _{1}^{\infty }{\frac {s^{z-1}-1}{s^{z}(s-1)}}\mathrm {d} s}
ψ
(
z
+
1
)
=
ln
z
−
1
2
z
−
∫
0
∞
(
1
2
coth
(
s
2
)
−
1
s
)
e
−
z
s
d
s
{\displaystyle \psi (z+1)=\ln {z}-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{2}}\operatorname {coth} \left({\dfrac {s}{2}}\right)-{\frac {1}{s}}{\biggr )}e^{-zs}\mathrm {d} s}
但し、
coth
(
s
2
)
{\displaystyle \coth \left({\frac {s}{2}}\right)}
双曲線余接関数 を表す。
また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。
ψ
(
y
)
−
ψ
(
x
)
=
∫
0
1
u
x
−
1
−
u
y
−
1
1
−
u
d
u
{\displaystyle \psi (y)-\psi (x)=\int _{0}^{1}{\frac {u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u}}\mathrm {d} u}
ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。
ψ
(
1
−
z
)
−
ψ
(
z
)
=
π
cot
(
π
z
)
{\displaystyle \psi (1-z)-\psi (z)=\pi \operatorname {cot} (\pi z)}
但し、
cot
(
π
z
)
{\displaystyle \cot(\pi z)}
余接関数 を表す。
z
→
∞
(
|
arg
z
|
<
π
)
{\displaystyle z\to \infty \,(|\arg z|<\pi )}
漸近展開 をもつ。
ψ
(
z
)
∼
ln
z
−
1
2
z
−
∑
n
=
1
∞
B
2
n
2
n
z
2
n
=
ln
z
−
1
2
z
−
1
12
z
2
+
1
120
z
4
−
1
252
z
6
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}\\&=\ln {z}-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+\cdots \end{aligned}}}
但し、
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
ベルヌーイ数 である。
ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。
ψ
(
1
)
=
−
γ
{\displaystyle \psi (1)=-\gamma }
ψ
(
n
)
=
−
γ
+
∑
k
=
1
n
−
1
1
k
=
−
γ
+
H
n
−
1
{
n
∣
n
∈
Z
+
∖
{
1
}
}
{\displaystyle \psi (n)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}=-\gamma +H_{n-1}\qquad \{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\setminus \{1\}\,\}}
但し、
H
n
−
1
{\displaystyle H_{n-1}}
調和数 を表す。
また、正の半整数 において、次の値をとる。
ψ
(
1
/
2
)
=
−
γ
−
2
ln
2
{\displaystyle \psi (1/2)=-\gamma -2\ln {2}}
ψ
(
n
+
1
/
2
)
=
−
γ
−
2
ln
2
+
2
∑
k
=
0
n
−
1
1
2
k
+
1
{
n
∣
n
∈
Z
+
}
{\displaystyle \psi (n+1/2)=-\gamma -2\ln {2}+2\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2k+1}}\qquad \{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\,\}}
^ Abramowitz & Stegun 1965, p. 258, 6.3. Psi (Digamma) Function.
^ 差分作用素
Δ
{\displaystyle \Delta }
Δ
ψ
(
z
)
=
1
z
{\displaystyle \Delta \psi (z)={\frac {1}{z}}}
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)}
1
z
{\displaystyle {\frac {1}{z}}}
不定和分 のひとつである。
