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ソリッド・トーラス
初等幾何学 における中身の詰まったトーラス (なかみのつまったトーラス、英 : solid torus ; ソリッドトーラス 、トーラス体 )は、一つの円周 に沿って円板 が掃く領域として定まる回転体 である。位相的 には、一つのハンドル体 のみを持つ(すなわち種数 1 の)コンパクト図形である。
中身の詰まったトーラスを図示するには三次元空間 に埋め込まれたトーラス形 (トロイド)として描くのが標準的な方法であるが、図示の仕方によっては互いに区別すべきトーラス と同様の見た目になることがある。トーラスとはトーラス形の表面(境界面)を成す二次元の図形のことであり、トーラスに囲まれる有界領域はソリッドトーラスの一種となる。
値 r < R を任意にとり固定して考えるとき、ソリッド・トーラス は半径 R の円周 からの距離 a ≤ r なる点全体の成す集合である。したがってそれは、半径 r の円板を、その円と交わらずその円の属する平面上に載っている軸の周りに、回転半径 R がもとの円板の半径より大きくなるように、回転させて得られる[ 1] :198 。
トーラスの媒介変数表示を以下のように与えることができる:
X
→
(
t
,
p
)
=
(
x
y
z
)
=
R
(
cos
t
sin
t
0
)
+
a
(
cos
t
cos
p
sin
t
cos
p
sin
p
)
=
(
(
R
+
a
cos
p
)
cos
t
(
R
+
a
cos
p
)
sin
t
a
sin
p
)
(
0
≤
a
≤
r
,
0
≤
t
,
p
≤
2
π
)
.
{\displaystyle {\vec {X}}(t,p)={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=R{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}+a{\begin{pmatrix}\cos t\cos p\\\sin t\cos p\\\sin p\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(R+a\cos p)\cos t\\(R+a\cos p)\sin t\\a\sin p\end{pmatrix}}\quad (0\leq a\leq r,0\leq t,p\leq 2\pi ).}
ソリッドトーラスの体積は、函数行列式 (ヤコビ行列 の行列式 )上の三重積分として計算できる。先の媒介表示に関するヤコビ行列は以下のように陽に書ける:
J
f
=
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
a
,
t
,
p
)
=
(
∂
a
x
∂
p
x
∂
t
x
∂
a
y
∂
p
y
∂
t
y
∂
a
z
∂
p
z
∂
t
z
)
=
(
cos
t
cos
p
−
R
sin
t
−
a
sin
t
cos
p
a
cos
t
sin
p
sin
t
cos
p
R
cos
t
+
a
cos
t
cos
p
a
sin
t
sin
p
sin
p
0
−
a
cos
p
)
,
{\displaystyle J_{f}={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,t,p)}}={\begin{pmatrix}\partial _{a}x&\partial _{p}x&\partial _{t}x\\\partial _{a}y&\partial _{p}y&\partial _{t}y\\\partial _{a}z&\partial _{p}z&\partial _{t}z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos t\cos p&-R\sin t-a\sin t\cos p&a\cos t\sin p\\\sin t\cos p&R\cos t+a\cos t\cos p&a\sin t\sin p\\\sin p&0&-a\cos p\end{pmatrix}},}
ゆえにその行列式は
det
(
J
f
)
=
a
(
a
cos
p
+
R
)
{\displaystyle \det(J_{f})=a(a\cos p+R)}
であり、この行列式の値は法ベクトルのノルムに等しい。すなわち、ソリッドトーラスの体積は
V
=
∫
V
d
V
=
∫
Γ
det
(
J
f
)
d
Γ
=
∫
0
2
π
d
t
∫
0
2
π
d
p
∫
0
r
d
a
(
R
a
+
a
2
cos
p
)
=
2
π
2
r
2
R
{\displaystyle V=\int _{V}dV=\int _{\Gamma }\det(J_{f})d\Gamma =\int _{0}^{2\pi }dt\int _{0}^{2\pi }dp\int _{0}^{r}da~(Ra+a^{2}\cos p)=2\pi ^{2}r^{2}R}
と計算される。
命題
ソリッドトーラスの体積は
V
=
2
π
2
r
2
R
{\displaystyle V=2\pi ^{2}r^{2}R}
で与えられる。
この公式を、円板の面積
A
r
=
π
r
2
{\displaystyle A_{r}=\pi r^{2}}
と中心軌跡(円周の長さ)
U
R
=
2
π
R
{\displaystyle U_{R}=2\pi R}
を掛けたものと解釈することができる。これは円柱 体の体積が
V
cylinder
=
π
r
2
l
{\displaystyle V_{\text{cylinder}}=\pi r^{2}l}
であるのと同様である。表面積の計算も同様にできて、ここでは二つの円周
U
r
=
2
π
r
{\displaystyle U_{r}=2\pi r}
と
U
R
=
2
π
R
{\displaystyle U_{R}=2\pi R}
の積に等しい。これもやはり円柱の側面積が
O
cylinder
=
2
π
r
l
{\displaystyle O_{\text{cylinder}}=2\pi rl}
であることに対応する。
位相幾何学 におけるソリッドトーラス は、円板 D 2 と円周 S 1 との直積集合 S 1 × D 2 に直積位相 を入れたものに同相であるな位相空間 を言う[ 2] :188 。
ソリッドトーラスは連結 コンパクト かつ向き付け可能 な三次元の境界付き多様体 で、その境界は通常のトーラス S 1 × S 1 に同相である。
円板 D 2 は可縮 ゆえ、ソリッドトーラスは円周 S 1 のホモトピー型 を持つ[ 3] :2 。したがってソリッドトーラスの基本群 およびホモロジー群 は円周のそれに同型となる:
π
1
(
S
1
×
D
2
)
≅
π
1
(
S
1
)
≅
Z
,
{\displaystyle \pi _{1}(S^{1}\times D^{2})\cong \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} ,}
H
k
(
S
1
×
D
2
)
≅
H
k
(
S
1
)
≅
{
Z
if
k
=
0
,
1
,
0
otherwise
.
{\displaystyle H_{k}(S^{1}\times D^{2})\cong H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0,1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
^ Falconer, Kenneth (2004), Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (2nd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 9780470871355 , https://books.google.co.jp/books?id=JXnGzv7X6wcC .
^ Matsumoto, Yukio (2002), An Introduction to Morse Theory , Translations of mathematical monographs, 208 , American Mathematical Society, ISBN 9780821810224 , https://books.google.co.jp/books?id=TtKyqozvgIwC .
^ Ravenel, Douglas C. (1992), Nilpotence and Periodicity in Stable Homotopy Theory , Annals of mathematics studies, 128 , Princeton University Press, ISBN 9780691025728 , https://books.google.co.jp/books?id=RA18_pxdPK4C .