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シンプソンの公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
シンプソン則から転送)
関数 f(x) (青) の、二次関数 P(x) (赤)による近似。

シンプソンの公式(シンプソンのこうしき、: Simpson's rule)とは、数値解析の分野における、数値積分の方法の一つである。定積分

近似値を、関数 f(x)二次関数で近似することによって得る。名前は、トーマス・シンプソンに因んでいる。次数2の閉じたニュートン・コーツの公式である。シンプソン則ともいう。

基本

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シンプソンの公式は、f(x)二次関数 P(x) で近似することによって導かれる。ここで、P(x)f(x)a, b, m における値をそれぞれとる[1]P(x) は、ラグランジュ補間によって、次の多項式x の二次式)になることが分かる。

この多項式を範囲 [a, b] で積分すると、次のシンプソンの公式が得られる。

シンプソンの公式による、積分の近似の誤差は、ab の間にある ξ によって、次式で見積もれる(h の5次式)。

ただし、h = (ba)/2。さらに f(x) が2回微分可能で f''凸関数であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。

合成シンプソン公式

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シンプソンの公式は、積分範囲 [a, b] が十分小さい場合であれば適当な近似であることが分かる。したがって、積分範囲が大きい場合は、積分範囲を小さな部分区間分割し、各部分区間についてシンプソンの公式を適用し、その結果を足し合わせるという方法が考えられる。この方法は、合成シンプソン公式(composite Simpson's rule)として知られている。

ただし、n は [a, b] を等しく偶数個に分割した部分区間の個数、h = ba/n は各部分区間の長さ、xi = a + ih (i = 0, ..., n)、特に、x0 = a, xn = b。この式は、次のようにも書ける。

合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で見積もることができる。

脚注

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  1. ^ m は“中点”、すなわち a + b/2

関連記事

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参考文献

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  • Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis, (7th Ed). Brooks/Cole. ISBN 0534382169 

外部リンク

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  • シンプソンの公式の証明と例題』 - 高校数学の美しい物語
  • Weisstein, Eric W. "Simpson's Rule". mathworld.wolfram.com (英語).