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コーシー–アダマールの定理(コーシー–アダマールのていり、英語: Cauchy–Hadamard theorem)とは、複素解析学の定理の1つであり、フランスの数学者オーギュスタン・ルイ・コーシーとジャック・アダマールにちなんで命名された。
一複素変数 z に関する、以下のような冪級数を考える。
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7010fa0facf23977a799a9f005374fa2b408aa)
ここで
とする。このとき、f の収束半径は以下のように与えられる。
![{\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\big (}|c_{n}|^{\frac {1}{n}}{\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e274e6aef26ca2dd61384e868c11797a159373)
ただし、上極限 (lim sup) は次のように定義される。
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }u_{n}:=\lim _{n\to \infty }\sup\{u_{k}:k\geq n\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aea2a6f1c6c48471e0eccaf53360163b0d6cefe)
なお、supは上限を意味する。