クーポンコレクター問題

クーポンの種類数 n と全種類を集めるのに必要な試行回数の期待値 E(T) のグラフ

クーポンコレクター問題（クーポンコレクターもんだい、英語: Coupon collector's problem）とは、確率論における「全てのクーポンを集めると何らかの特典が得られる」場合に、何回クーポンを引けばよいかという問題である。「クーポンコレクター」と表現しているが、ソーシャルゲームで問題視されたコンプリートガチャをはじめ、トレーディングカード、カプセルトイ、ブラインドパッケージの食玩などで全種類を集める（コンプリートする）場合にも適用できる問題である。そのため、日本においては「食玩問題 」とも呼ばれる。

具体的には次のような問題である。

壺の中に n 種類の異なるクーポンが入っている。1回の試行で壺の中から1枚クーポンを引き、引いたものと同じ種類のクーポンを壺の中に戻すものとする。n 種類（全種類）のクーポンを集めようとしたとき、 t 回以上の試行回数が必要となる確率はいくつだろうか?

別の言い方をすると次のようになる。

n 種類の異なるクーポンがあるとき、各種類のクーポンを1回以上引くまでに、何回クーポンを引けば良いか?

数学的分析によれば、必要とされる試行回数の期待値は $\Theta (n\log(n))$ である。例えば n = 50の場合、全50種類のクーポンを収集するには、平均で約225回の試行が必要となる。

解法

期待値の計算

T を全 n 種のクーポンを収集する時間とし、 t_i を i - 1種のクーポンを収集した後に i 種類目のクーポンを収集する時間とする。T と t_i を確率変数と考える。新しいクーポンを集める確率は p_i = (n − (i − 1))/n である。従って、 t_i は期待値を1/p_i とする幾何分布となる。期待値の線形性により、以下が得られる。

${\begin{aligned}\operatorname {E} (T)&=\operatorname {E} (t_{1})+\operatorname {E} (t_{2})+\cdots +\operatorname {E} (t_{n})={\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{n}}}\\&={\frac {n}{n}}+{\frac {n}{n-1}}+\cdots +{\frac {n}{1}}\\&=n\cdot \left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)\\&=n\cdot H_{n}\end{aligned}}$

ここで、 H_n は n 番目の調和数である。 調和数の漸近解析を使用して、以下が得られる。

$\operatorname {E} (T)=n\cdot H_{n}=n\log n+\gamma n+{\frac {1}{2}}+O(1/n)$

ここで、 $\gamma \approx 0.5772156649$ はオイラーの定数である。

マルコフの不等式を使用して、所望の確率の上限を与えることができる。

$\operatorname {P} (T\geq cnH_{n})\leq {\frac {1}{c}}$

分散の計算

確率変数 t_i の独立性を用いて、分散が以下のように計算できる。

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (T)&=\operatorname {Var} (t_{1})+\operatorname {Var} (t_{2})+\cdots +\operatorname {Var} (t_{n})\\&={\frac {1-p_{1}}{p_{1}^{2}}}+{\frac {1-p_{2}}{p_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {1-p_{n}}{p_{n}^{2}}}\\&<\left({\frac {n^{2}}{n^{2}}}+{\frac {n^{2}}{(n-1)^{2}}}+\cdots +{\frac {n^{2}}{1^{2}}}\right)\\&=n^{2}\cdot \left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)\\&<{\frac {\pi ^{2}}{6}}n^{2}\end{aligned}}$

なぜならば、 ${\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots$ であるからである（バーゼル問題を参照）。

チェビシェフの不等式を使用して、所望の確率を決めることができる。

$\operatorname {P} \left(|T-nH_{n}|\geq cn\right)\leq {\frac {\pi ^{2}}{6c^{2}}}$

テールの推定

異なる上限は、以下の計算から導き出すことができる。${Z}_{i}^{r}$ を最初の $r$ 回の試行で $i$ 番目のクーポンが引けない事象を表すとする。

${\begin{aligned}P\left[{Z}_{i}^{r}\right]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{r}\leq e^{-r/n}\end{aligned}}$

したがって、$r=\beta n\log n$については$P\left[{Z}_{i}^{r}\right]\leq e^{(-\beta n\log n)/n}=n^{-\beta }$となる。

${\begin{aligned}P\left[T>\beta n\log n\right]=P\left[\bigcup _{i}{Z}_{i}^{\beta n\log n}\right]\leq n\cdot P[{Z}_{1}^{\beta n\log n}]\leq n^{-\beta +1}\end{aligned}}$

拡張と一般化

• ポール・エルデシュとレーニ・アルフレードは、 T の分布の極限定理を証明した。この結果は、ここまでに述べた境界のさらなる拡張である。

$\operatorname {P} (T<n\log n+cn)\to e^{-e^{-c}}\quad (n\to \infty )$

• ドナルド・J・ニューマンとローレンス・シェップは、全クーポンを m 枚ずつ収集する必要がある場合として、クーポンコレクター問題を一般化した。各クーポンを m 枚収集するのにかかる時間を T_m とする。彼らは、この場合の期待値が以下を満たしていることを示した。

$\operatorname {E} (T_{m})=n\log n+(m-1)n\log \log n+O(n)\quad (n\to \infty )$

ここで、 m は固定されている。 m = 1のとき、上述の式が得られる。

• 同じ一般化のもとでエルデシュとレーニは以下を導いた。

$\operatorname {P} {\bigl (}T_{m}<n\log n+(m-1)n\log \log n+cn{\bigr )}\to e^{-e^{-c}/(m-1)!}\quad (n\to \infty )$

• フィリップ・フラジョレによると、不均一な確率分布の一般的なケースでは、以下のようになる。

$E(T)=\int _{0}^{\infty }{\big (}1-\prod _{i=1}^{n}(1-e^{-p_{i}t}){\big )}dt$

関連項目

• コンプリートガチャ
• 食玩 / カプセルトイ / ブラインドパッケージ
• 誕生日のパラドックス（誕生日問題）
• Watterson estimator

出典

• Blom, Gunnar; Holst, Lars; Sandell, Dennis (1994), “7.5 Coupon collecting I, 7.6 Coupon collecting II, and 15.4 Coupon collecting III”, Problems and Snapshots from the World of Probability, New York: Springer-Verlag, pp. 85–87, 191, ISBN 0-387-94161-4, MR1265713, https://books.google.com/books?id=KCsSWFMq2u0C&pg=PA85 .
• Dawkins, Brian (1991), “Siobhan's problem: the coupon collector revisited”, The American Statistician 45 (1): 76–82, doi:10.2307/2685247, JSTOR 2685247, https://jstor.org/stable/2685247 .
• Erdős, Paul; Rényi, Alfréd (1961), “On a classical problem of probability theory”, Magyar Tudományos Akadémia Matematikai Kutató Intézetének Közleményei 6: 215–220, MR0150807, http://www.renyi.hu/~p_erdos/1961-09.pdf .
• Newman, Donald J.; Shepp, Lawrence (1960), “The double dixie cup problem”, American Mathematical Monthly 67: 58–61, doi:10.2307/2308930, MR0120672 
• Flajolet, Philippe; Gardy, Danièle; Thimonier, Loÿs (1992), “Birthday paradox, coupon collectors, caching algorithms and self-organizing search”, Discrete Applied Mathematics 39 (3): 207–229, doi:10.1016/0166-218X(92)90177-C, MR1189469, http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/alloc2.ps.gz .
• Isaac, Richard (1995), “8.4 The coupon collector's problem solved”, The Pleasures of Probability, Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, pp. 80–82, ISBN 0-387-94415-X, MR1329545, https://books.google.com/books?id=a_2vsIx4FQMC&pg=PA80 .
• Motwani, Rajeev; Raghavan, Prabhakar (1995), “3.6. The Coupon Collector's Problem”, Randomized algorithms, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 57–63, MR1344451, https://books.google.com/books?id=QKVY4mDivBEC&pg=PA57 .

外部リンク

• "Coupon Collector Problem" by Ed Pegg, Jr., the Wolfram Demonstrations Project. Mathematica package.
• How Many Singles, Doubles, Triples, Etc., Should The Coupon Collector Expect?, a short note by Doron Zeilberger.